ВИЩА МАТЕМАТИКА-2. Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних

Робоча програма навчальної дисципліни (Силабус)

Реквізити навчальної дисципліни

**Рівень вищої освіти *Перший (бакалаврський) ***

Програма навчальної дисципліни

1. Опис навчальної дисципліни, її мета, предмет вивчання та результати навчання Кредитний модуль «Вища математика-2» є фундаментом математичної та інженерної освіти спеціаліста, входить до навчальної дисципліни «Вища математика», належить до циклу математичної, природничо-наукової підготовки та присвячений формуванню у студентів здатності застосовувати основні поняття, означення, теореми та методи їх доведення теоретичної математики, що необхідні для вивчення наступних дисциплін спеціальності, вивчення найважливіших результатів сучасної математики. Метою кредитного модуля є формування у студентів здатностей:

• використовувати методи матричного числення, векторного аналізу, аналітичної геометрії і лінійної алгебри, диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної в інженерних розрахунках;

• до застосування знань та умінь, отриманих після засвоєння кредитного модуля «Вища математика-1», при вивченні загально інженерних та спеціальних дисциплін;

• до самостійного вивчення наукової літератури з математики та її застосування в математичному дослідженні прикладних задач.

Програмні результати навчання (згідно матриці відповідності програмних компетентностей та результатів навчання в освітній програмі).

Згідно з вимогами програми навчальної дисципліни студенти після засвоєння кредитного модуля мають продемонструвати такі результати навчання: програмні компетентності:

• здатність до абстрактного мислення, аналізу та синтезу (ЗК-1);

• здатність проектувати, розробляти та використовувати засоби реалізації інформаційних систем, технологій та інфокомунікацій (ФК 4);

• здатність до алгоритмічного та логічного мислення (ФК 15); знання:

 Знати лінійну та векторну алгебру, диференціальне та інтегральне числення, теорію функцій багатьох змінних, теорію рядів, диференціальні рівняння для функції однієї та багатьох змінних, операційне числення, теорію ймовірностей та математичну статистику в обсязі, необхідному для розробки та використанняінформаційних систем, технологій та інфокомунікацій, сервісів та інфраструктури організації (ЗН 1).

уміння:

• застосовувати знання фундаментальних і природничих наук, системного аналізу та технологій моделювання, стандартних алгоритмів та дискретного аналізу про розв’язанні задач проєктування і використання інформаційних систем та технологій (УМ 2).

навички:

• навички розв’язування практичних та теоретичних задач з алгебри та геометрії на рівні середньої освіти.

• навички використання будь-якого пакету програм, що призначені для переглядуелектронних публікацій в форматі pdf.

досвід:

• навчитися працювати самостійно з навчальними посібниками, довідниками та іншими інформаційними ресурсами;

• володіння методами лінійної алгебри, аналітичної геометрії та математичного аналізу для розв’язання типових математичних задач з відповідних розділів математики;

• бути спроможнім розв’язати задачу, одержану в результаті математичного моделювання технічного процесу.

2. Пререквізити та постреквізити дисципліни (місце в структурно-логічній схемі навчання за відповідною освітньою програмою)

Отримані під час вивчення навчальної дисципліни «Вища математика» теоретичні знання та засвоєні практичні навички використовуються в подальшому під час вивчення переважної більшості навчальних дисциплін спеціальності. Забезпечує наступні навчальні дисципліни: «Теорія ймовірностей, ймовірнісні процеси і математична статистика» (ЗО 6), «Додаткові розділи теорії ймовірностей, ймовірнісних поцесів і математичної статистики» (ПО 5), «Дослідження операцій» (ПО 7), «Навчальна дисципліна з теорії прийняття рішень» (ПВ 6), «Моделювання процесів і систем» (ЗО 8).

3. Зміст навчальної дисципліни

4. Навчальні матеріали та ресурси

Рекомендована література

Базова 1. Ординська З.П., Орловський І.В., Руновська М.К. Аналітична геометрія та лінійна алгебра: конспект лекцій для студ. Техн. ф-ів/ Ординська З.П., Орловський І.В., Руновська М.К. – К.: НТУУ «КПІ», 2014. – 176с.

1. Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті : Підручник / І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова; за ред. О. І. Клесова. — Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського,

2018. — Т. 1. — 496 с.

https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/24338/1/MTU1.pdf

1. Алєксєєва І.В., Гайдей В.О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Математика в технічному університеті : Підручник / І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова ; за ред. О. І. Клесова ; КПІ ім. Ігоря Сікорського. — Київ: Видавничий дім «Кондор», 2019. — Т. 2. — 504 с. https://ela.kpi.ua/bitstream/123456789/30396/1/MTU2.pdf

2. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної . Практикум.(І курс, І семестр) /Уклад: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей. О.О Диховичний, Л. Б. Федорова. – К. :НТУУ(КПІ),2013.– 252 с.

https://matan.kpi.ua/public/files/PraktykumMA1.pdf

1. Вища математика. Навчальний посібник /Дубовик В.П., Юрик І.І.. – К. :АСК, 2006**.**– 648 с.

Допоміжна

1. Диференціальне та інтегральне числення функцій кількох змінних. Диференціальні рівняння. Практикум (І курс ІІ семестр) /Уклад: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей. О.О Диховичний, Л. Б. Федорова. – К. :НТУУ(КПІ),2014.– 190 с.

2. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. Практикум для студентів ІІ курсу технічних спеціальностей/Уклад: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей. О.О Диховичний, Л. Б. Федорова. – К. :НТУУ(КПІ),2013.– 160 с.

3. Грималюк В.П. Вища математика: У 2 ч.: навч. посіб. / В. П. Грималюк, М. М.

Кухарчук, В. В. Ясінський. – К.: Віпол, 2004. – Ч. 1. – 376 с.

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математическогоанализа. –М.: Наука,1989.

2. Овчинников П. Ф. Высшая математика: учеб. пособ./ П. Ф. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. – К.: Вища шк. Головноеизд-во, 1987. – 552 с.

3. Дубовик В.П. Вища математика. Збірник задач: навч. посібн./ В. П. Дубовик, І. І. Юрик. – К.: А.С.К., 2005.– 648 с.

4. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: уч. пособие. – 22-е изд., перераб. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2005. – 432 с.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Наука, 1984.592с.

6. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. СПб, 1994.-496с.

7. Методические указания к организации самостоятельной работы студентов по курсу высшей математики «Интегральное исчисление функции одной переменной» для студентов всех специальностей / Сост. Г. Г. Барановская, Н. И. Степанец, Л. Г. Карпович и др. – К.:КПИ, 1987.–76 с.

8. Аналітична геометрія. Лінійна алгебра: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів / Уклад.: Н. Р. Коновалова, Г. Г. Барановська, І. О. Федотова та ін. – К.: ІВЦ «Політехніка», 2001. – 65 с.

9. Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної : збірник завдань до типової розрахункової роботи для студ. І курсу техн.. спец. / Л. Б. Федорова, Н. Р. Коновалова, І. В. Алєксєєва, А. Ю. Кіндибалюк, О. П. Трофимчук, В. О. Гайдей. – К.:ІВЦ «Політехніка», 2001.–65 с.

Навчальний контент

5. Методика опанування навчальної дисципліни (освітнього компонента)

Лекції

5	Функції багатьох змінних. Частинні похідні. Функція багатьох змінних, границя та неперервність. Частинні похідні першого та вищих порядків, похідні складної та неявно заданої функції, повний диференціал. Означення простору Rn, області, функції багатьох змінних. Границя і неперервність функції багатьох змінних.	3 тиждень
6	Екстремуми функції багатьох змінних. Диференціали вищих порядків.Формула Тейлора. Локальні екстремуми. Найбільше та найменше значення функції. Умовний екстремум.	4 тиждень
7	Екстремуми функції багатьох змінних. Найбільше та найменше значення функції. Умовний екстремум.	5 тиждень
8	Подвійні інтеграли. Означення, геометричний та фізичний зміст, умови існування. Основні властивості. Обчислення в декартових координатах.	5 тиждень
9	Заміна змінних у подвійному інтегралі. Обчислення подвійних інтегралів у полярних та узагальнених полярних координатах.	6 тиждень
10	Потрійні інтеграли. Означення, геометричний та фізичний зміст, умови існування. Основні властивості. Обчислення у декартових координатах.	7 тиждень
11	Заміна змінних у потрійному інтегралі. Обчислення потрійних інтегралів у циліндричних та сферичних координатах. Застосування подвійних та потрійних інтегралів до задач	7 тиждень
12	Криволінійні інтеграли 1-го роду. Означення, властивості, формули для обчислення. Геометричні та фізичні застосування.	8 тиждень
13	Криволінійні інтеграли 2-го роду. Задача про роботу векторного поля на орієнтованій кривій. Означення криволінійного інтегралу 2-го роду, його фізичний зміст, властивості, формули для обчислення.	9 тиждень
14	Криволінійні інтеграли 2-го роду. Формула Гріна. Умови незалежності криволінійного інтегралу 2-го роду від шляху інтегрування.	9 тиждень
15	Поверхневі інтеграли 1-го роду. Означення, формула для обчислення. Геометричні та фізичні застосування.	10 тиждень
16	Поверхневі інтеграли 2-го роду. Поняття орієнтації поверхні. Означення потоку векторного поля через орієнтовану поверхню та поверхневого 2-го роду, їх властивості. Формули для обчислення.	11 тиждень
17	Потік векторного поля. Дивергенція векторного поля. Теорема Остроградського-Гаусса. Застосування її до обчислення потоків.	11 тиждень
18	Похідна за напрямом, градієнт. Означення, формули для обчислення, фізичний зміст.	12 тиждень
19	Векторне поле. Означення циркуляції векторного поля, ротора векторного поля. Теорема Стокса. Потенціальне поле. Умови потенціальності векторного поля. Обчислення потенціалу.	13 тиждень
20	Звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Загальні поняття, пов’язані з диференціальними рівняннями (ДР). Теорема існування і єдиності розв’язку ДР 1-го порядку. Означення: загального розв’язку, загального інтегралу, частинного розв’язку, задачі Коші для ДР 1-го порядку. ДР 1-го порядку з відокремлюваними змінними.	13 тиждень
21	ДР 1-го порядку. Однорідні ДР 1-го порядку Лінійні ДР 1-го порядку. Рівняння Бернуллі. Рівняння в повних диференціалах.	14 тиждень
22	Диференціальні рівняння вищих порядків. Основні поняття та означення. Задача Коші. Диференціальні рівняння, які допускають пониження порядку.	15 тиждень
23	Лінійні ДР вищого порядку, загальні поняття. Лінійні однорідні ДР(ЛОДР) вищого порядку. Теорема про лінійність множини розв’язків ЛОДР. Лінійно залежні і лінійно незалежні системи функцій. Означення фундаментальної системи розв’язків ЛОДР. Теорема про структуру загального розв’язку ЛОДР.	15 тиждень
24	Лінійні однорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера розв’язку ЛОДР другого та -го порядку.	16 тиждень
25	Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Теорема про структуру загального розв’язку. Теорема про накладання розв’язків. ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду.	17 тиждень
26	ЛНДР зі сталими коефіцієнтами. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа) розв’язку ЛНДР 2-го порядку.	17 тиждень
27	Системи лінійних диференціальних рівнянь. Основні поняття. Розв’язання систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.	18 тиждень

Практичні заняття

№ з/п	Назва теми заняття та перелік основних питань	Термін виконання
1	Визначений інтеграл. Обчислення за формулою Ньютона-Лейбніца. Метод заміни змінної та інтегрування частинами.	1 тиждень
2	Невласні інтеграли 1-го та 2-го роду. Обчислення та дослідження на збіжність.	2 тиждень
3	Геометричні застосування визначених інтегралів. Обчислення площі плоскої фігури та довжини дуги кривої.	3 тиждень
4	Обчислення площі поверхні та об’єму тіл обертання. МКР-1.	4 тиждень
5	Функцій багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали. Дотична площина і нормаль до поверхні.	5 тиждень
6	Екстремуми функцій багатьох змінних. Локальні, глобальні та умовні екстремуми функції двох змінних.	6 тиждень
7	Подвійні інтеграли. Обчислення подвійних інтегралів у декартових координатах	7 тиждень
8	Заміна змінних у подвійному інтегралі. Обчислення подвійних інтегралів у полярних та узагальнених полярних координатах.	8 тиждень
9	Потрійні інтеграли. Обчислення потрійних інтегралів у декартових, циліндричних та сферичних координатах.	9 тиждень
10	Криволінійні інтеграли 1-го та 2-го роду. Обчислення та застосування. Формула Гріна.	10 тиждень
11	Поверхневі інтеграли 1-го роду. Обчислення. Геометричні та фізичні застосування.	11 тиждень
12	Поверхневі інтеграли 2-го роду. Потік векторного поля. Обчислення. Дивергенція векторного поля. Обчислення потоків за теоремою Остроградського-Гаусса. Похідна за напрямом, градієнт. Обчислення похідної за напрямом та градієнта скалярного поля,	12 тиждень
13	Теорема Стокса. Потенціальне поле. Обчислення ротора та циркуляції векторного поля, потенціалу. МКР-2.	13 тиждень
14	Диференціальні рівняння 1-го порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні.	14 тиждень
15	Диференціальні рівняння 1-го порядку: рівняння Бернуллі, рівняння в повних диференціалах. Диференціальні рівняння вищих порядків, що дозволяють пониження порядку.	15 тиждень
16	Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера розв’язку ЛОДР другого та -го порядку. ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду.	16 тиждень
17	Лінійні неоднорідні ДР зі сталими коефіцієнтами. ЛНДР зі сталими коефіцієнтами і правою частиною спеціального вигляду. Метод Лагранжа розв’язку ЛНДР 2-го порядку.	17 тиждень
18	Системи лінійних диференціальних рівнянь. МКР-3.	18 тиждень

6. Самостійна робота студента/аспіранта

Згідно з робочим навчальним планом на самостійну роботу студента (СРС) відводиться 60 годин.

Самостійна робота студента включає виконання індивідуального завдання, на яке відводиться 10 годин. Індивідуальне завдання складається з частини розрахункової роботи «Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної» та «Диференціальне та інтегральне числення функцій багатьох змінних», яка включає завдання з усіх тем курсу. Розрахункова робота сприяє поглибленому засвоєнню методів розв’язку типових математичних задач. Терміни виконання розрахункової роботи оголошуються студентам на першому занятті.

Політика та контроль

7. Політика навчальної дисципліни (освітнього компонента) Відвідування занять

Відвідування лекцій та практичних занять, а також відсутність на них, не оцінюється. Однак, студентам рекомендується відвідувати заняття, оскільки на них викладається теоретичний матеріал та розвиваються навички, необхідні для виконання практичних завдань та успішного написання МКР, виконання РР.

Пропущені контрольні заходи

Результат модульної контрольної роботи для студента(-ки), який не з’явився на контрольний захід, є нульовим. У такому разі, студент(-ка) має можливість написати модульну контрольну роботу, але максимальний бал за неї буде дорівнювати 50% від загальної кількості балів. Повторне написання модульної контрольної роботи не допускається.

Календарний рубіжний контроль

Проміжна атестація студентів (далі – атестація) є календарним рубіжним контролем. Метою проведення атестації є підвищення якості навчання студентів та моніторинг виконання графіка освітнього процесу студентами.

Академічна доброчесність

Політика та принципи академічної доброчесності визначені у розділі 3 Кодексу честі Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря

Сікорського». Детальніше: https://kpi.ua/code

8. Види контролю та рейтингова система оцінювання результатів навчання (РСО)

1. Рейтинг студента з кредитного модуля розраховується виходячи із

   100-бальної шкали, з них 50 балів складає стартова шкала. Стартовий рейтинг (протягом семестру) складається з балів, що студент отримує за:

   • роботу на практичних заняттях;

   • виконання модульної контрольної роботи; – виконання розрахункової роботи.

2. Критерії нарахування балів: 2.1. Робота на практичних заняттях:

– Короткочасні контрольні роботи оцінюються із 2 балів кожна (5 короткочасних контрольних робіт ):

• якщо задача повністю розв’язана, то студент отримує 1 бал;

• якщо відповідь правильна, але у розв’язку є неточності, то студент отримує 0,5 бали;  якщо незадовільна відповідь, метод розв’язування задачі неправильний – 0 балів;

• За умови гарної підготовки і активної роботи на практичному занятті одному або двом кращим студентам на кожному практичному занятті може бути добавлений як заохочувальний 1 бал. Максимальна кількість заохочувальних балів на всіх практичних заняттях дорівнює 1 бал х 5 = 5 балів. 2.2. Модульну контрольну роботу (МКР) розбито на 3 частини:

• МКР-1: ваговий бал – 10 балів;

• МКР-2: ваговий бал – 5 балів;

• МКР-3: ваговий бал – 5 балів;

Кожна модульна контрольна робота складається з 5 задач. Ваговий бал кожної задачі МКР-1, МКР-2, МКР-3 – 1 бал. Розв’язок задачі оцінюється в 0-1 бал наступним чином: – якщо задача повністю розв’язана, то студент отримує 1 бал;

• якщо відповідь правильна, але у розв’язку є неточності, то студент отримує 0,5 бали; – якщо незадовільна відповідь, метод розв’язування задачі неправильний – 0 балів.

2.3. Розрахункова робота: ваговий бал– 15 балів (розбито на 3 частини)

Робота оцінюється у процентному відношенні правильно розв’язаних завдань. 2.4. Штрафні та заохочувальні бали за:

• кожний тиждень затримки із поданням розрахункової роботи нараховується штрафний –1 бал (усього не більше –5 балів);

• призові місця у факультетських та інститутських олімпіадах з вищої математики; підготовка та захист рефератів, виконання завдань з удосконалення дидактичних матеріалів з кредитного модуля: 1-5 балів (усього не більше 5 балів).

1. Умовою позитивної першої та другої атестацій є отримання у поточному

   рейтингу не менше 50% можливих на даний момент балів.

2. Умовою допуску до екзамену є зарахування розрахункової роботи та

   стартовий рейтинг студента не менше 30 балів.

3. На екзамені студенти виконують письмову контрольну роботу. Кожний

   варіант складається з 1 теоретичного питання та 4 практичних. Перелік запитань наведений у Рекомендаціях до засвоєння кредитного модуля. Кожне запитання (завдання) оцінюється у 10 балів за такими критеріями:

   • «відмінно», повна відповідь, не менше 90% потрібної інформації, що виконана згідно з вимогами до рівня «умінь», (повне, безпомилкове розв’язування завдання) – 9-10 балів;

   • «добре», достатньо повна відповідь, не менше 75% потрібної інформації, що виконана згідно з вимогами до рівня «умінь» або є незначні неточності (повне розв’язування завдання з незначними неточностями) – 7-8 балів;

   • «задовільно», неповна відповідь, не менше 60% потрібної інформації, що виконана згідно з вимогами до «стереотипного» рівня та деякі помилки (завдання виконане з певними недоліками) – 4-6 балів;

   • «незадовільно», відповідь не відповідає умовам до «задовільно» (незадовільна відповідь, неправильний метод розв’язування) – 0-4 бали.

4. Сума стартових балів та балів за екзаменаційну писбмову роботу

   переводиться до екзаменаційної оцінки згідно з таблицею:

Робочу програму навчальної дисципліни (силабус):

Складено доцент, к. ф.-м. н., Голіченко Ірина Ігорівна

Ухвалено кафедрою математичного аналізу та теорії ймовірностей (протокол № 1 від 27.08.2020 р.)

Погоджено Методичною комісією факультету (протокол № 1 від 02.09.2020 р.)