ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА - Робоча програма навчальної дисципліни (Силабус)

Реквізити навчальної дисципліни
Рівень вищої освіти Перший (бакалаврський)
Галузь знань 12 Інформаційні технології
Спеціальність 126 Інформаційні системи та технології
Освітня програма Інтегровані інформаційні системи
Статус дисципліни Нормативна
Форма навчання Заочна/дистанційна
Рік підготовки, семестр 2 курс, весняний семестр
Обсяг дисципліни 120 годин (4 годин – Лекції, 4 годин – Практичні, 112 годин – СРС)
Семестровий контроль/ контрольні заходи Залік/залікова робота
Розклад занять http://rozklad.kpi.ua
Мова викладання Українська
Інформація про керівника курсу / викладачів

Лектор, практичні: к.т.н., с.н.с. Савчук Олена Володимирівна,

savchuk_l1@ukr.net,

моб.+38(096)9127162, +38(050)0702234
Розміщення курсу https://campus.kpi.ua

Програма навчальної дисципліни

Опис навчальної дисципліни, її мета, предмет вивчання та результати навчання

Опис дисципліни. При проходженні даної дисципліни студенти познайомляться з математичними методами аналізу, зокрема, ймовірнісними та статистичними методами, методами обробки випадкових процесів. На практичних заняттях опанують завдання на аксіоматику теорії ймовірностей, закони та моменти випадкової величини, системи випадкових величин, вирівнювання статистичних рядів, узгодження та параметризацію розподілів. В курсі передбачений контроль виконання домашніх завдань у вигляді конспекту лекцій та практичних завдань, перевірка якості отриманих знань у вигляді домашньої контрольної роботи. На лекціях проводитимуться короткі опитування (5 хвилин).

Предмет навчальної дисципліни: основні поняття теорії ймовірностей, випадкових процесів та розрахункових моделей математичної статистики.

Міждисциплінарні зв’язки. Дисципліна «Теорія ймовірностей і математична статистика» (ТЙМС) пов'язана з такими дисциплінами, які вивчаються раніше: «Вища математика», «Основи дискретної математики», а також з подальшими дисциплінами та дипломним проектуванням.

Мета навчальної дисципліни. Підготовка висококваліфікованих фахівців, які володіють загальними методами і засобами ймовірнісних і статистичних розрахунків в інженерних дослідженнях та розробках інтегрованих інформаційних систем та технологій.

Основні завдання навчальної дисципліни

Знання:

  • основні поняття теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів та математичної статистики;

  • основні розрахункові формули, типові закони розподілу випадкових величин (ВВ);

  • правила складання графів станів випадкових процесів та правила складання і рішення диференціальних рівнянь А.М. Колмогорова;

  • правила обробки статистичної інформації (масивів даних).

Уміння:

  • використати основні формули складання і множення подій та

ймовірностей, формул повної ймовірності та Бейєса на чисельних

прикладах;

  • розрахувати моменти розподілу дискретної та безперервної

ВВ на чисельних прикладах;

  • побудувати відповідні графіки щільності (густини) або функції розподілу ВВ на

чисельних прикладах;

  • скласти граф станів для заданої структури розрахунку надійності або

структури (системи) масового обслуговування, за графом скласти

відповідні рівняння і пояснити їх рішення для двох часових варіантів

(перехідний і нескінчений);

  • побудувати статистичний графік (гістограму частот або статистичну

функцію розподілу) на чисельних прикладах, вміти застосувати

критерій довірчого узгодження (хі-квадрат).

Пререквізити та постреквізити дисципліни (місце в структурно-логічній схемі навчання за відповідною освітньою програмою)

Пререквізити: вміти користуватися комп’ютером на рівні користувача, базові знання в області математичного аналізу, основ дискретної математики (теорії множин, графів тощо).

Постреквізити:

- розпізнавання в реальній задачі її ймовірнісних або статистичних рис;

- підбирання адекватної моделі розрахунку, використовуючи

розрахункові формули, графіки, діаграми;

- поставлення експерименту та раціональної обробки його результатів;

- складання рекомендацій щодо бажаного результату.

Зміст навчальної дисципліни

Лекційні заняття

Розділ 1. Основи теорії ймовірностей

Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей.

Тема 2. Аксіоматика теорії ймовірностей та основні теореми

Тема 3. Правило множення ймовірностей. Формула повної ймовірності і формула Бейєса.

Тема 4. Повторення дослідів

Тема 5. Закони та моменти розподілу випадкової величини

Тема 6. Нормальний закон розподілу випадкової величини

Тема 7. Системи випадкових величини.

Тема 8. Числові характеристики функцій випадкових величин

Розділ 2. Елементи теорії випадкових процесів

Тема 9. Основні поняття теорії випадкових процесів

Тема 10. Потоки подій, їх властивості й класифікація

Тема 11. Системи масового обслуговування.

Тема 12. Марковські процеси із дискретними станами та безперервним часом.

Тема 13. Марковські процеси загибелі й розмноження з безперервним часом.

Розділ 3. Елементи математичної статистики

Тема 14. Предмет і загальні задачи математичної статистики.

Тема 15. Вирівнювання і узгодження статистичних розподілів

Тема16. Основні положення кореляційно-регресійного аналізу.

Тема 17. Критерії узгодження

Тема 18. Задача параметризації розподілів.

Практичні заняття

  1. Задачі на основні поняття теорії ймовірностей.

Задачі на аксіоматику теорії ймовірностей.

Задачі на закони та моменти розподілу випадкових величин.

Домашня контрольна робота ДКР_1.

2. Приклади законів розподілу випадкових величин.

Задачі на системи випадкових величин.

Задачі на числові характеристики функцій випадкових величин.

Задачі на закони розподілу функцій випадкових величин.

Домашня контрольна робота ДКР_2.

3. Задачі на потоки подій, їх властивості й класифікацію.

Задачі на марковські процеси.

Задачі на системи масового обслуговування.

Домашня контрольна робота ДКР_3.

4. Задачі кореляційно-регресійного аналізу.

Задачі на вирівнювання статистичних рядів

Задачі на узгодження розподілів.

Домашня контрольна робота ДКР_4.

Навчальні матеріали та ресурси

Базова література

  1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М., Высшая школа, 2001. – 575 с.

  2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей. М., Академия, 2003. – 448 с.

  3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. М., Высшая школа, 2000. – 383 с.

  4. Теорія ймовірностей і математична статистика = Theory of Probability and Mathematical Statistics [Електронний ресурс] : навч. посіб. для студ. спеціальностей 121 «Інженерія програмного забезпечення», 126 «Інформаційні системи та технології» / КПІ ім.Ігоря Сікорського; уклад.: Є. О. Покровський, С. Є. Покровський, О.В. Савчук. – Електронні текстові дані (1 файл: 4,28 Мбайт). – Київ : КПІ ім. Ігоря Сікорського, 2021. – 231 с.

  5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М:

ВШ, 2003. – 479 с.

  1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М: ВШ, 2003. – 405 с.

6. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов по специальности «АСУ» - М.: Высшая школа, 1985. – 271 с.

7. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін O.K*.* Теорія імовірностей та

математична статистика. 5-те видання. / Київ: Центр учбової літератури,

2010. – 424 с.

Допоміжна література

  1. Глеч С.Г., Ледяев С.Ф., Ольшанская И.В. Теория вероятностей и

математическая статистика: уч. пособие. – Севастополь: Сев. НТУ, 2012. -168 с.

  1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2011. - 488 с. (Серия: Классический университетский учебник.) — Учебник. Изд.10-е. и доп.

  2. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. ОНЛАЙН.- М., Наука, 2002. – 496 с.

  3. Хом’юк І. В., Хом’юк В. В., Краєвський В. О*.* Теорія імовірностей та математична статистика. Навчальний посібник. / Вінниця: ВНТУ, 2009. – 189 с.

  4. В.І. Жлуктенко, С.І. Наконечний, Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика/ Ч.1. Теорія ймовірностей. - К.: КНЕУ, 2000.-304 с.

  5. В.І. Жлуктенко, С.І .Наконечний, Савіна С.С. Теорія ймовірностей і математична статистика/ Ч.2. Математична статистика. - К.: КНЕУ, 2001.-336 с.

  6. Свешников С.В. и др. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и случайным функциям.- М.: Наука,1970.- 656 с.

Інформаційні ресурси

  1. http://www.math-pr.com/stst_1v_1.php

  2. https://math.semestr.ru/group/group.php

  3. Єдине інформаційне середовище НТУУ «КПІ ім. Ігоря Сікорського» - «КАМПУС».

Навчальний контент

Методика опанування навчальної дисципліни (освітнього компонента)

Лекційні заняття

№ з/п Назва теми лекції та перелік основних питань
(перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)
1

Лекція 1. (1 година).

Розділ 1. Основи теорії ймовірностей

Тема 1.1. Основні поняття теорії ймовірностей.

Предмет і організація курсу. Мета і завдання курсу. Випадкова подія, її ймовірність. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Частота або статистична ймовірність події.

Літ. [1], с. 15-36.

Тема 1. 2. Аксіоматика теорії ймовірностей та основні теореми.

Аксіоми ТВ та їхні наслідки. Алгебра множин. Правило складання ймовірностей. Правило множення ймовірностей. Умовна ймовірність події. Композиція незалежних іспитів.

Літ. [1], с. 37-44.

Тема 1.3. Формула повної ймовірності і формула Бейєса.

Літ.[1], с.54-58.

Тема 1.4. Повторення дослідів.

Літ.[1], с.59-66.

Тема 1.5. Поняття и призначення числових характеристик випадкових величин.

Ряд розподілу дискретної ВВ. Функція розподілу дискретної ВВ. Безперервна ВВ та її щільність розподілу. Змішана ВВ.

Літ.[1], с.67-83.

Роль і призначення числових характеристик ВВ.

Математичне очікування, мода, медіана. Початкові та центральні моменти. Дисперсія, середне-квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

Літ.[1], с.84-102.

Поняття закону розподілу випадкової величини (ВВ).

Приклади законів розподілу випадкових величин.Закон рівномірної щільності.

Закон Пуассона.

Літ.[1], с.103-112.

Завдання на СРС.

Основні поняття.

Літ. [2], с. 4-18; завдання 1.1-1.4, 1.7, 1.8, 1.11, 1.19, 1.24,

1.30,1.33/34,1.40; 2.1-2.39.

Аксіоми теорії ймовірностей та їхні наслідки.

Літ. [2], завдання 2.4, 2.5, 2.11, 2.12, 3.1, 3.7, 3.8.

Формула повної ймовірності і формула Бейєса.

Літ.[2], завдання 3.7,3.8,3.9,3.12, 3.19, 3.20, 3.25,3.26,3.36,3.38.

Повторення дослідів.

Літ.[2], завдання 4.1,4.3,4.11,4.15,4.17,4.18-4.31.

Поняття числових характеристик випадкових величин.

Літ[2], завдання 5.1, 5.8, 5.10, 5.12, 5.18, 5.20.
2

Лекція 2. (1 година)

Тема 1.6. Нормальний закон розподілу випадкової величини. Нормальний (Гаусов) закон та його параметри. Моменти нормального закону. Ймовірність влучення ВВ на заданий інтервал. Нормальна функція розподілу. Ймовірнісне (серединне) відхилення. Композиція нормальних законів. Загальний запис багатовимірного нормального розподілу. Функція Лапласа.

Літ. [1], с.115-127; 3,с.55-61.

Тема 1.7. Приклади законів розподілу випадкових величин.

Експоненціальний. Функція Лапласа.

Рівномірний. Перша й друга моделі розподілу Пуассона.

Ймовірність рідко трапляючихся подій. Біноміальний розподіл.

Показниковий. Закон великих чисел. Нерівність Чебишева.

Літ. [1]; с.103-105, с. 285-296; [3], с. 101-108, 149-153.

Тема 1.8. Системи випадкових величини.

Функція розподілу системи двох випадкових величин.Двовимірні дискретні та безперервні випадкові величини. Обчислення одномірної щільності ймовірності по двомірній. Умовні щільності ймовірності. Математичне очікування скалярної функції випадкової величини. Теорема А.М.Колмогорова. Елементи кореляційного аналізу.

Літ. [1]; с.154-187; [2], с.124-131.

Тема 1.9. Числові характеристики функцій випадкових величин.

Математичне очікування функції ВВ. Дисперсія функції ВВ. Математичне очікування системи ВВ. Дисперсія системи ВВ. Теорема складання математичних очікувань:

Лінійної функції декількох ВВ, добутку двох ВВ, кореляційний момент ВВ X та Y.

Теорема множення математичних очікувань.

Літ.[1], с. 210-230; [2], с.152-156.

Завдання на СРС:

Нормальний закон розподілу випадкової величини.

Літ.[2], завдання 5.54,5.56-5.61.Лит.[4],завд.119,125,129,131.

Приклади законів розподілу ВВ

Літ.[2], завдання 5.37,5.52,5.53,5.55.Літ.[4], завд.184,185,187, 241,243,245,247,250.

Системи випадкових величин.

Літ.[2], с. 131-151, завдання 6.1-6.15.

Числові характеристики функцій випадкових величин.

Літ.[2], с. 156-206, завдання 7.1-7.25, 7.30,7.40,7.42-7.45, 7.47,7.55, 7.64,7.67,7.70,7.71.
3

Лекція 3. (1 година).

Розділ 2. Елементи теорії випадкових процесів.

Тема 2.1. Основні поняття теорії випадкових процесів.

Основні означення. Властивості функції розподілу. Теорема Колмогорова. Функції від випадкових величин. Дискретні та безперервні випадкові величини та їх властивості.

Літ.[1],с. 517-520; [3]; с.4-46.

Тема 2.2. Потоки подій, їх властивості й класифікація.

Потік. Інтенсивність потоку. Ординарний, без наслідку, стаціонарний, найпростіший. Поняття марковського процесу. Графи станів та їх розмітка. Диференційні рівняння, їх розв’язання для двох обмежень часу. Фінальні ймовірності станів. Поняття ергодичної системи. Істотні стани.

Літ. [1], с.520-540; [2], с. 317-324; [3], с.47-97, 128-138.

Тема 2.3. Марковські процеси із дискретними станами та безперервним часом.

Приклади для задач надійності та масового обслуговування.

Літ.[1], с. 531-540, [2], с. 320-327; [3], с. 128-165.

Тема 2.4. Марковські процеси загибелі й розмноження з безперервним часом.

Схеми загибелі та розмноження. Деякі властивості потоків Пальма; потоки Ерланга. Розмічений граф станів. Процеси чистого розмноження та чистої загибелі. Умови існування стаціонарного режиму.

Літ. [2], с. 327-328; [3], с.177-199.

Тема 2.3. Системи масового обслуговуванн (СМО)..

Класифікація СМО. Параметри СМО. Формули Літтла. Формули фінальної ймовірності станів. Найпростіша СМО з відмовами. Найпростіші одноканальні СМО з обмеженою та необмеженою чергами. Найпростіша одноканальна СМО з обмеженням по довжині черги (Ерланга). Найпростіші багатоканальні СМО: з необмеженою чергою та з обмеженням по довжині черги.Багатоканальна СМО з відмовами при найпростішому потоці заявок та довільним часом обслуговування. Одноканальна СМО при довільному (пальмівському) потоці заявок та довільному часу обслуговування. Найпростіша багатофазова СМО з чергою.

Літ. [2], с.363-370; [6], с.164-199.

Завдання на СРС.

Основні поняття теорії випадкових процесів:

Літ. [3], с.20-24, приклади 1-9, с.36-45, приклади 1-10.

Потоки подій, їх властивості й класифікація:

Літ. [1], с. 520-536;

Літ. [2], с.328-362; завдання 10.1,10.7,10.9-10.15,10.23-10.32;

[3], с.133-138, приклади 1, 2.

Марковські процеси із дискретними станами та безперервним часом:

Літ. [1], с. 537-540;

Літ. [2], с. 353-359, завдання 10.24-10.35; [3], с.133-138,145-153, приклади 1, 2.

Марковські процеси загибелі й розмноження з безперервним часом:

Літ. [2], с. 354-362, завдання 10.33-10.38; [3], с.180-199, приклади 1-6.

Системи масового обслуговування:

Літ. [1], с. 540 -560;

Літ. [2], завдання 10.33-10.37; [6], с.180-199, приклади 1-6.
4

Лекція 4 (1 година).

Розділ 3. Елементи математичної статистики.

Тема 3.1. Предмет і загальні задачи математичної статистики.

Початкові статистичні формулювання. Первинна статистична сукупність. Її упорядкування. Статистична та емпірична функції розподілу. Групований статистичний ряд. Гістограма частот.

Літ. [4]; с. 187-196.

Тема 3.2. Вирівнювання та узгодження статистичних розподілів.

Вирівнювання статистичних розподілів. Статистичні гіпотези та їх різновиди. Статистичний критерій перевірки основної гіпотези. Критерій узгодження хі-квадрат та його розподіл. Знаходження теоретичних частот нормального розподілу.

Літ. [1], с. 430-450; [7], с.165-200,с. 244-247.

Тема 3.3. Варіаційні ряди та їх графічне зображення.

Організація даних вибіркової сукупності. Побудова варіаційного ряду і розподілів частот. Побудова розподілів частостей та накопичених частот і частостей. Графічне представлення розподілів вибіркової сукупності у вигляді гістограми. Графічне представлення розподілів. Побудова емпіричної функції розподілу. Знаходження числових характеристик вибіркових даних. Середні величини. Показники варіації.

Літ. [7], с. 335-380.

Тема3.4. Основні положення кореляційно-регресійного аналізу.

Коефіцієнт коваріації, коефіцієнт кореляції двох ВВ, їх властивості для дискретного і безперервного випадків.Система довільного числа ВВ. Лінійна, нелінійна та рангова кореляція. Лініаризація функцій. Лінійна регресія. Прямі лінії середньоквадратичної регресії. Парна регресійна модель. Множинний регресійний аналіз.

Літ. [1]; с. 175-187; [5], с.190-205.

Тема 3.5. Оцінка параметрів встановленого розподілу. ( Задача параметризації розподілів).

Точкова та інтервальна оцінка параметрів закону розподілу. Методи максимальної правдоподібності та найменших квадратів. Оцінка числових характеристик випадкових величин по обмеженому числу дослідів.

Літ. [1], с. 451-462; [5], с.157-158, с.169-175; [7], с.218-222; с.223- 230.

Завдання на СРС.

Предмет і загальні задачі математичної статистики.

Літ.[5], с.151-157, завдання №№ 439-449.

Вирівнювання та узгодження статистичних розподілів.

Літ. [7], с. 200-202, №№ 1-6, с. 248-249., №№1-4.

Варіаційні ряди та їх графічне зображення.

Літ.[7], с. 310-312, приклади №№ 1-5.

Завдання для поглибленого вивчення: Розв’язання задач комп’ютерними засобами ( наприклад, EXCEL,

http://www.math-pr.com/stst_1v_1.php ,

https://math.semestr.ru/group/group.php ):

Біноміальний розподіл, [7], с.337-34.

Розподіл Пуассона [7], с.343-346.

Нормальний розподіл [7], с.346-354.

Побудова довірчого інтервалу для оцінки математичного сподівання

Літ. [7], с.355-357.

Основні положення кореляційно-регресійного аналізу.

Літ. [2], завдання №№6.25- 6.29; [5], с.191-192, №№535,537, с.201, №540.

Оцінка параметрів встановленого розподілу

Літ. [5], с.158-169; завдання №№ 450-488; с.169-174, №№ 489-499; с.175-180, №№501- 522; [7], с.230-232, завдання №№ 1- 6.

Метод Монте-Карло: Літ. [4]; с. 363-375; [7], с.294-316.

Літ. [4], завдання с.368, №№ 371, 373-377.

Практичні заняття

№ Назва практичного заняття Кількість ауд. годин
1

Практичне заняття 1

Основні поняття теорії ймовірностей. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Частота або статистична ймовірність події. Алгебра подій. Правило складання ймовірностей.

Літ.[2], завд.1.1-1.4, 1.33/34; 2.1-2.4, 2.5, 2.11, 2.12, 2.14/15/16.

Аксіоматика теорії ймовірностей. Правила складання та множення ймовірностей. Формула повної ймовірності і формула Бейєса.

Літ. [2], с. 19-48, завдання 2.19, 2.25, 2.34/35, 2.40; 3.7, 3.8, 3.18, 3.20/21, 3.25, 3.36, 3.40.

Закони та моменти розподілу випадкових величин.

Ряд розподілу дискретної ВВ. Функція розподілу дискретної ВВ. Безперервна ВВ та її щільність розподілу. Повторення дослідів.

Літ. [2], завдання 4.5,4.22/23,5.8,5.14,5.16,5.20,5.23/24, півеліпс 5.51.

Початкові та центральні моменти. Математичне очікування, мода, медіана. Дисперсія, середнє-квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

Літ. [2], завд.5.3, 5.27/28,5.30,5.38,5.50.

 1

Домашня контрольна робота ДКР_1.

На контрольну роботу виноситься увесь попередній матеріал, що включає базові поняття теорії ймовірностей, включаючи числові характеристики.

Завдання включають теоретичну та практичну частини, а також додаткове завдання, в разі вчасного відпрацювання основних питань.

Завдання для СРС. Повторити матеріал попередніх лекцій.
2

Практичне заняття 2

Приклади законів розподілу випадкових величин

Перша й друга моделі розподілу Пуассона. Ймовірність рідко трапляючихся подій. Біноміальний розподіл. Показниковий та експоненціальний розподіли.

Пуассона - Літ. [2], 5.18, 5.21/22,5.26, 5.35,5.36,5.37,5.38;

Біноміальний - Літ. [2], 4.11/12*,4.13,4.14,4.31;

Показниковий - Літ. [2], 5.23,5.27,5.28,5.30,5.4.

Експоненціальний – Літ. [2], завдання 5.24,5.25;

Рівновимірний ( та змішаний)- Літ. [2], завдання 5.50;

Комбинація законів- Літ. [2], завдання 5.39*;

Приклади законів розподілу випадкових величин

Закон трикутника: прямокутного- Літ. [2], завдання 5.40; Симпсона (рівнобедерного)- Літ. [2], завдання 5.42;

Закон Коші- Літ. [2], завдання 5.43;

Закон Релєя - Літ. [2], завдання 5.31,5.32, 5.46;

Щільність розподілу - Літ. [2], завдання 5.47;

Гама-функція (закон Максвелла, Релєя)- Літ. [2], завдання 5.52*;[1], c.200;

Функція, задана графіком- Літ. [2], завдання 5.55*.

Нормальний закон розподілу випадкових величин

Ряд розподілу. Функція розподілу. Щільність розподілу. Характеристики випадкової величини.

Літ. [2], завдання 5.49, 5.53*,5.54,5.56,5.57,5.58,

Закон Лапласа - Літ. [2], завдання 5.45, 5.4;

Нормальний закон + Лапласа- Літ. [2], завдання 5.59-5.61.

Системи випадкових величин.

Функція розподілу системи двох випадкових величин. Обчислення одномірної щільності ймовірності по двовимірній. Умовні щільності ймовірності. Незалежні та залежні двовимірні та n-вимірні дискретні та безперервні випадкові величини. Початкові та центральні моменти k+s системи (X,Y). Функція та щільність розподілу n випадкових величин.

Літ.[2], с.105-106, завдання 5.33,5.34; с.131-151, завдання 6.11-6.29.

Числові характеристики функцій випадкових величин

Математичне очікування. Дисперсія. Теорема складання математичних очікувань. Теорема множення математичних очікувань. Математичне очікування добутку двох випадкових величин. Теорема складання дисперсій.

Літ.[2], с. 152-206, завдання 7.1-7.25, 7.30, 7.31, 7.32, 7.40,7.42-7.45,

7.47,7.55,7.58,7.64,7.67,7.70,7.71.

Закони розподілу функцій випадкових величин.

Граничні теореми теорії ймовірностей

Рівномірний, показниковий, Пуассона,Симпсона,Ерланга,Коши, Релєя, Паскаля, нормальний закон на площині, в об’ємі, логнормальний. Метод лінеаризації. Властивості багатовимірної функції розподілу. Композиція нормальних законів. Граничні теореми теорії ймовірностей. Випадкові функції.

Літ.[1],c. 272; [2], с.208-210, завдання 8.19,8.27, 8.31,8.40- 8.42,8.47,8.61,8.65,8.70,8.73; c.261-316, завдання 9.1-9.60.

 1

Домашня контрольна робота ДКР_2.

На контрольну роботу виноситься попередній матеріал, що включає числові характеристики функцій випадкових величин, системи випадкових величин, закони розподілу функції випадкових величин.

Завдання включають теоретичну частину та практичні приклади.

Завдання для СРС. Повторити матеріал попередніх лекцій та практичних завдань.
3

Практичне заняття 3

Розділ 2.Основні поняття теорії випадкових процесів.

Потоки подій, їх властивості й класифікація.

Числові характеристики, закони розподілу, функції випадкових величин. Потоки подій. Різновиди потоків: стационарний, ординарний, без післядії (пуассонівський), найпростіший. Деякі властивості потоків Пальма. Потоки Ерланга. Граничні теореми теорії потоків.

Літ.[3],с.20-24,приклади 1-9, с.36-45, приклади 1-10.

Літ.[2], с.328-362, завдання 10.1,10.7,10.9,10.12-10.15,10.23.

Марковські процеси із дискретними станами.

Графи станів та їх розв’язання

Випадкові процеси з дискретним часом і дискретними станами. Поняття марковського процесу. Ланцюги Маркова. Граф станів та його розмітка. Диференційні рівняння, їх розв’язання для двох обмежень часу. Приклади для задач надійності та масового обслуговування.

Літ. [2], с. 353-359, завдання 10.24-10.32; [3], с.133-138, приклади 1,2.

Марковські процеси з дискретними станами і неперервним часом.

Рівняння Колмогорова А.М.

Розвязання рівнянь А.М.Колмогорова на прикладі обчислювального центру , що складається з трьох ЕОМ. Стаціонарний режим, рівняння для граничних ймовірностей станів. Приклади.

Літ. [2], с. 352-359, завдання 10.30-10.35; [3], с.145-153, приклади 1,2.

Марковські процеси загибелі й розмноження

Схема випадкового процесу загибелі й розмноження з безперервним часом, його розмічений граф станів, умови існування стаціонарного режиму, граничні ймовірності станів. Приклади для задач надійності та масового бслуговування.

Літ. [2],с. 354-362, завдання 10.33-10.38;[3], с.180-199, приклади 1-6.

Системи масового обслуговування

Класифікація систем масового обслуговування (СМО). Характеристики (параметри) СМО. Найпростіші одноканальні та багатоканальні СМО.

Літ.[2], завдання 10.33-10.37; [6], с.180-199, приклади 1-6.

 1

Домашня контрольна робота ДКР_3

На контрольну роботу виноситься попередній матеріал, що включає потоки подій та марковські процеси, розвязання рівнянь А.М.Колмогорова

Завдання включають теоретичну частину та практичні приклади.

Завдання для СРС. Повторити матеріал попередніх лекцій та практичних завдань.

 1
4

Практичне заняття 4.

Задача узгодження статистичних розподілів. Критерій Хі-квадрат Пірсона та інші.

Групований статистичний ряд. Гістограма частот. Вирівнювання статистичних розподілів. Приклад.

Літ.[5], с.151-157, завдання №№ 439-449; [7], с. 200-202, №№ 1-6

Статистичні гіпотези та їх різновиди. Похибки перевірки гіпотез

( ризики виробника та споживача). Критерій узгодження хі-квадрат та його розподіл. Знаходження теоретичних частот нормального розподілу, Пуассона та рівномірного. Приклад. Інші критерії узгодження. Точкова та інтервальна оцінка параметрів закону розподілу. Методи максимальної правдоподібності та найменших квадратів

Літ. [7], с.230-232, завдання №№ 1- 6; с.248-249, завдання №№1-4.

Основи кореляційно-регресійного аналізу.

Основні положення кореляційного аналізу.

Коефіцієнт коваріації, коефіцієнт кореляції двох ВВ, їх властивості для дискретного і безперервного випадків.Система довільного числа ВВ. Лінійна, нелінійна та рангова кореляція. Лініаризація функцій. Лінійна регресія. Парна регресійна модель. Множинний регресійний аналіз.

Літ.[2],с.134-140,

завдання 6.8,6.10,6.12; [5], с.191-192, №№535,537, с.201,№540

Домашня контрольна робота ДКР_4.

На контрольну роботу виноситься попередній матеріал, що включає побудову емпіричного статистичного розподілу, критерій узгодження хі-квадрат, оцінки параметрів закону розподілу, елементи кореляційно-регресійного аналізу.

Завдання включають теоретичну частину та практичні приклади.

Завдання для СРС. Повторити матеріал попередніх лекцій та практичних завдань.

Примітка. Приклади і задачі практичних занять розглядаються або розв’язуються заздалегідь до проведення практичних занять, а на заняттях перевіряються 5-10 завдань по домовленості з викладачем.

Самостійна робота студента/аспіранта

№ з/п

 Назва теми, що виноситься на самостійне опрацювання Кількість годин СРС
1 Алгебра подій. Композиція незалежних іспитів. 4
2 Приклади на формулу повної ймовірності і формулу Бейєса. 4
3 Поняття випадкових величин та їх законів розподілу. 4
4 Роль і призначення числових характеристик випадкових величин. 4
5 Приклади законів розподілу випадкових величин.Ймовірність рідко трапляючихся подій. Біноміальний розподіл. Показовий. 10
6 Закон великих чисел. Нерівність Чебишева. Багатомірний нормальний закон 4
7

Закони розподілення функцій випадкових величин.

Граничні теореми теорії ймовірностей

 10
8 Комплексна випадкова функція 4
9 Марковські процеси із дискретними станами. 10
10 Рівняння Колмогорова А.M. 4
11 Системи масового обслуговування 20
12 Задача узгодження статистичних розподілів. Критерій Хі-квадрат Пірсона та інші 10
13 Варіаційні ряди та їх графічне зображення. 10
14 Метод Монте-Карло. 4
15 Підготовка до заліку по всьому матеріалу модуля. 10
Всього 112

Політика та контроль

Політика навчальної дисципліни (освітнього компонента)

Система вимог, які ставляться перед студентом:

  • для синхронного навчання відвідування лекційних та практичних занять є обов’язковою складовою вивчення матеріалу;

  • на лекції викладач користується власним презентаційним матеріалом; відпрацьовує практичну частину на віртуальній машині з встановленою відповідною РСУБД; використовує гугл-диск для викладання матеріалу поточної лекції, додаткових ресурсів, практичних робіт та інше; викладач відкриває доступ до певної директорії гугл-диска для скидання електронних звітів та відповідей за ДКР;

  • на лекції заборонено відволікати викладача від викладання матеріалу, усі питання, уточнення та ін. студенти задають в кінці лекції у відведений для цього час;

  • практичні роботи захищаються у два етапи – перший етап: студенти виконують домашні завдання; другий етап – захист практичної роботи ( при дистанційному навчанні практичні надсилаються на електронну пошту викладача). Бали за практичне заняття враховуються лише за наявності електронного звіту або скану рукопису;

  • домашні контрольні роботи захищаються у два етапи – перший етап: студенти виконують домашні завдання; другий етап – після перевірки викладачем опрацьовуються помилки, усний захист доопрацьованої роботи ( при дистанційному навчанні практичні надсилаються на електронну пошту викладача).

  • заохочувальні бали виставляються за: опрацювання та виправлення помилок в ДКР (додаткові 2 за одну задачу); бали по активну участь на лекціях; участь у факультетських та інститутських олімпіадах з навчальних дисциплін, участь у конкурсах робіт, підготовка оглядів наукових праць; презентацій по одній із тем СРС дисципліни тощо. Кількість заохочуваних балів на більше 10;

  • штрафні бали виставляються за некоректну поведінку. Кількість штрафних балів на більше 10.

Види контролю та рейтингова система оцінювання результатів навчання (РСО)

Рейтинг студента з дисципліни складається з балів, що він отримує за:

  1. виконання 6 завдань з 1.1 по 1.6 теми конспекту лекцій;

  2. виконання та захист 14 домашніх практичних робіт;

  3. виконання домашньої контрольної роботи (ДКР з чотирьох частин, 8 завдань);

  4. заохочувальні та штрафні бали.

Система рейтингових балів та критерії оцінювання

Завдання з 1.1 по 1.6 теми конспекту лекцій (за одну лекцію):

«відмінно» – повна відповідь (не менше 90% потрібної інформації) – 3 бали;

«добре» – достатньо повна відповідь (не менше 75% потрібної інформації) або повна відповідь з незначними недоліками – 2 бали;

«задовільно» – неповна відповідь (не менше 60% потрібної інформації) та незначні помилки – 1 бали;

«незадовільно» – відповідь не відповідає вимогам до «задовільно» – 0 балів.

Домашні практичні роботи:

«відмінно», повна відповідь на питання під час захисту (не менш ніж 90% потрібної інформації) та оформлений належним чином електронний конспект чи рукопис до практичної роботи – 3 балів;

«добре», достатньо повна відповідь на питання під час захисту (не менш ніж 75% потрібної інформації) та оформлений належним чином електронний конспект чи рукопис до практичної роботи –2 бали;

«задовільно», неповна відповідь на питання під час захисту (не менш ніж 60% потрібної інформації), незначні помилки та оформлений належним чином електронний конспект чи рукопис до практичної роботи – 1 бал;

«незадовільно», незадовільна відповідь та/або не виконаний і не оформлений належним чином електронний конспект чи рукопис до практичної роботи – 0 балів.

Домашня контрольна робота:

«відмінно», повна відповідь та акуратний запис (не менш ніж 90% потрібної інформації) за одне з 8 завдань - 5/4 балів;

«добре», достатньо повна відповідь та акуратний запис (не менш ніж 75% потрібної інформації), або повна відповідь з незначними помилками за одне з 8 завдань – 4/3 балів;

«задовільно», неповна відповідь, не акуратний запис (але не менш ніж 60% потрібної інформації) та незначні помилки за одне з 8 завдань – 3/2 бали;

«незадовільно», незадовільна відповідь (неправильний розв’язок задачі), потребує обов’язкового повторного написання в кінці семестру за одне з 8 завдань – 2/0 балів.

Заохочувальні бали

– за виконання творчих робіт з кредитного модуля (наприклад, участь у факультетських та інститутських олімпіадах з навчальних дисциплін, участь у конкурсах робіт, підготовка оглядів наукових праць тощо); за активну роботу на лекції (питання, доповнення, зауваження за темою лекції, коли лектор пропонує студентам задати свої питання) 1-2 бали, але в сумі не більше 10;

  • презентації по СРС – від 1 до 5 балів,

– конспект лекції, оформлений за ДСТУ, ЕСТД -0,5 бала.

Міжсесійна атестація

Не передбачається.

Максимальна сума вагових балів контрольних заходів протягом семестру складає:

RD = 14*rпр+6*rд+5*rдкр + (rз - rш)=14*3+6*3+5*8+ (rз - rш)=100 + (rз - rш),

де rпр – бал за практичну роботу (0…3);

rдкр – бал за написання ДКР (0…5);

rл – бал за написання завдань за темами 1.1-1.6 (0…3);

rз – заохочувальні бали за активну участь на лекціях, презентації, участь в олімпіадах, конкурсі роботи, наукові роботи за тематикою дисципліни (0…10);

rзш – штрафні бали.

Залік:

Студенти, які виконали всі умови допуску до семестрової атестації (не мають заборгованостей з практичних робіт, наявні усі електронні звіти або скани рукопису) та набрали протягом семестру необхідну кількість балів (RD ≥ 60), отримують залікову оцінку (залік) так званим «автоматом» відповідно до набраного рейтингу (табл. 1, що наведена нижче). У такому разі до заліково-екзаменаційної відомості вносяться бали RD та відповідні оцінки.

Студенти, які набрали протягом семестру менше ніж 60 балів та не мають заборгованостей, зобов’язані виконувати залікову контрольну роботу.

На заліку студенти виконують письмову контрольну роботу. Кожне завдання містить два теоретичних питання і одне практичне. Перелік питань наведений у методичних рекомендаціях до засвоєння кредитного модуля. Кожне теоретичне питання оцінюється у 35 балів, практичне – у 30 балів.

Студентам, які протягом семестру набрали більш ніж 60 балів та виконали всі умови допуску, надається можливість виконувати залікову контрольну роботу з метою підвищення оцінки. В такому разі, попередній рейтинг студента з кредитного модуля скасовується і він отримує оцінку з урахуванням результатів залікової контрольної роботи (табл. 1, що наведена нижче).

Система оцінювання питань:

«відмінно», повна відповідь (не менше 90% потрібної інформації) – 18-20 балів;

«добре», достатньо повна відповідь (не менше 75% потрібної інформації, або незначні неточності) – 13-17 балів;

«задовільно», неповна відповідь (не менше 60% потрібної інформації та деякі помилки) – 7-12 балів;

«незадовільно», незадовільна відповідь – 0-6 балів.

Сума набраних балів RD або балів за залікову роботу переводиться до залікової оцінки згідно з таблицею:

Таблиця 1. Переведення рейтингових балів до оцінок за університетською шкалою

Кількість балів Оцінка
100-95 Відмінно
94-85 Дуже добре
84-75 Добре
74-65 Задовільно
64-60 Достатньо
Менше 60 Незадовільно
Не виконані умови допуску Не допущено

Додаткова інформація з дисципліни (освітнього компонента)

  • перелік теоретичних питань, які виносяться на семестровий контроль наведено в Додатку 1;

  • на початку семестру викладач аналізує існуючі курси по тематиці дисципліни та пропонує пройти відповідні безкоштовні курси студентам. Після отриманням студентом сертифікату проходження дистанційних чи онлайн курсів за відповідною тематикою, викладач закриває відповідну частину курсу (практичні чи лекції) за попередньою домовленістю з групою.

Робочу програму навчальної дисципліни (Силабус):

Складено доцент, к.т.н., с.н.с. Савчук Олена Володимирівна.

Ухвалено кафедрою АУТС (протокол № 1 від 30.08.2021 р.)

Погоджено Методичною комісією факультету[1] (протокол № 1 від 30.08.2021 р.)

Додаток 1

Перелік теоретичних питань на залік

ПЕРЕЛІК ЗАПИТАНЬ НА ЗАЛІКУ

  1. Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки. Сума і добуток подій. Приклади.

  2. Алгебра множин. Правило складання ймовірностей**.** Правило множення ймовірностей.

  3. Схема випадків (шансів). Безпосередній підрахунок ймовірностей.

  4. Безпосередній підрахунок ймовірностей. Частота або статистична ймовірність події.

  5. Теорема (правило) складання ймовірностей , відповідні 3 аксіоми.

  6. Початкові і центральні моменти розподілу випадкової величини.

  7. Центральні моменти.

  8. Роль і призначення числових характеристик ВВ. Математичне очікування, мода, медіана. Дисперсія, середнє-квадратичне відхилення, асиметрія, ексцес.

  9. Поняття ВВ та її закону розподілу. Безперервна ВВ та її щільність розподілу. Змішана ВВ.

  10. Моменти розподілу випадкової величини.

  11. Поняття ВВ та її закону розподілу. Ряд розподілу дискретної ВВ. Функція розподілу дискретної ВВ.

  12. Приклади законів розподілу випадкових величин.

Розподіл Пуассона.

  1. Вирівнювання статистичних розподілів. Приклад.

  2. Функція розподілу випадкової величини та її властивості.

  3. Щільність і функція розподілу безперервної випадкової величини.

  4. Алгебра множин. Правило складання ймовірностей**.** Правило множення ймовірностей

  5. Формули повної ймовірності Бейєса. Навести приклади.

  6. Навести приклади застосування основних теорем (правил) теорії ймовірностей.

  7. Приклади законів розподілу випадкових величин. Рівномірний.

  8. Приклади законів розподілу випадкових величин.

Ймовірність рідко трапляючихся подій. Біноміальний розподіл.

  1. Біноміальний і Пуассона закони розподілу безперервної величини.

  2. Приклади законів розподілу випадкових величин. Нормальний (Гаусів).

  3. Приклади законів розподілу випадкових величин. Експоненціальний.

Функція Лапласа.

  1. Закон Пуассона.

  2. Закон Ерланга.

  3. Показовий та нормальний закони розподілу випадкової величини.

Параметри законів.

  1. Частинна теорема про повторення дослідів. Загальна теорема про повторення дослідів.

  2. Система двох випадкових величин. Залежні й незалежні ВВ. Умовні закони розподілу.

  3. Двовимірні дискретні та безперервні випадкові величини. Обчислення

одномірної щільності ймовірності по двовимірній випадковій величині.

  1. Двовимірні дискретні та безперервні випадкові величини. Умовні щільності

ймовірності. Математичне очікування скалярної функції випадкової величини.

  1. Умовні ймовірності події. Правило (теорема) множення ймовірностей

  2. Числові характеристики системи випадкових величин (Х,У). Регресія.

  3. Числові характеристики систем двох випадкових величин. Коваріація і коефіцієнт кореляції.

  4. Система двох безперервних випадкових величин. Сумісна щільність розподілу.

  5. Система двох дискретних випадкових величин. Матриця розподілу.

  6. Система двох випадкових величин. Матриця розподілу. Сумісна щільність розподілу.

  7. Моменти розподілу для системи двох випадкових величин. Коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення.

  8. Багатовимірні незалежні величини, їх властивості.

  9. Властивості багатомірного нормального розподілу.

  10. Найпростіший потік подій і його властивості.. Навести пояснення на часовій вісі.

  11. Потік подій Пальма та його властивості.

  12. Потік Пуассона.

  13. Потоки Ерланга.

  14. Скласти граф станів для довільної структури завдання надійності (4-5 елементів).

  15. Скласти граф станів для довільної одноканальної структури СМО і довільної часової діаграми.

  16. Складання і рішення диференційних рівнянь за графом станів

( випадки t<∞, t=∞).

  1. Приклад процесу з обмеженим числом станів.

  2. Первинна статистична сукупність. Її упорядкування. Статистична функція розподілу. Гістограма частот.

  3. Задача вирівнювання статистичних рядів. Статистичні графіки. Приклади

  4. Марковські випадкові процеси з дискретними станами і дискретним часом ( ланцюг Маркова).

  5. Марковський процес з дискретними станами і безперервним часом. Рівняння

А.М. Колмогорова.

  1. Граф станів. Класифікація станів. Ймовірності станів.

  2. Складання графа станів для випадкового процесу з безперервним часом.

  3. Система рівнянь А.М.Колмогорова

  4. Розв’язок рівнянь Колмогорова за графом станів для перехідного режиму (час обмежений).

  5. Рішення рівняння А.М.Колмогорова за графом станів для перехідного режиму (t=∞ нескінченості).

  6. Стаціонарний режим (час необмежений) марковського процесу. Рівняння для граничних ймовірностей.

  7. Для довільної структури задачі надійності скласти граф станів і рівняння

А.М. Колмогорова.

  1. Безперервні марковські процеси. Надати коментар по графу станів для ОЦ із трьох комп’ютерів

  2. Марковські процеси загибелі й розмноження.

  3. Марковські процеси загибелі та розмноження з безперервним часом. Розмічений граф станів. Фінітні ймовірності станів

  4. Закон розподілення та числові характеристики часу надходження процесу загибелі й розмноження в довільній підмножині станів.

  5. Приклад процесу загибелі.

  6. Процеси загибелі та розмноження. Приклад роботи обчислювального центру з N дисплеями, що працюють в стаціонарному режимі цілодобово.

  7. СМО з очікуванням.

  8. Одноканальна СМО, діаграми.

  9. Навести приклад побудови гістограми частот і статистичної функції розподілу.

  10. Навести загальний опис трьох завдань математичної статистики.

  11. Загальний опис рішення третього завдання математичної статистики (параметризації розподілу).

  12. Теоретична і статистична частота (ймовірність) подій. Правила складання і множення частот (ймовірностей)

  13. Задача узгодження розподілів. Критерії хі-квадрат Пірсона.

  14. Властивості функції розподілу. Теорема А.М.Колмогорова. Функції випадкових величин.

  15. Потоки подій, їх властивості й класифікація.

  16. Поняття «точкової» і «інтервальної» оцінки параметрів розподілу. Довірча ймовірність.

  17. Оцінки для математичного очікування та дисперсії. Довірчий інтервал, довірча ймовірність.

  18. Точкова та інтервальна оцінка параметрів закону розподілу.

  19. Приклади для задач надійності та масового обслуговування.

  20. Автокореляційна функція.

  21. Initial and central moments of the distribution of random variables.

  22. To give a general description of three problems of mathematical statistics.

Додаток 2

Індивідуальні завдання

Метою індивідуальних завдань є закріплення набутих умінь та навичок студентів по виконанню ймовірнісних і статистичних розрахунків в інженерних дослідженнях та розробках програмного забезпечення комп’ютерних систем.

Зміст модульної контрольної роботи №4

( розрахунково-графічної роботи)

До розділу «Елементи математичної статистики»

Дана вибірка обсягу n=100.

Потрібно побудувати (обчислити): 1)   групувати статистичний ряд абсолютних частот; статистичний ряд відносних частот; 2) полігон відносних частот; полігон накопичених частот; побудувати відповідні гістограми; 3) обчислити вибіркове середнє, дисперсію та середньо квадратичне відхилення, асиметрію, ексцес; 4) за гістограмою висунути гіпотезу про закон розподілу генеральної сукупності ( нормальний, рівномірний, Пуассона); 5) за допомогою критерія Пірсона перевірити висунуту гіпотезу. Зробити висновки. Захистити роботу.

Приклад завдання

ВАРІАНТ №___

3.75 1.88 3.31 5.05 2.07 1.13 6.35 3.78 4.47 4.4
3.89 5.16 2.97 4.34 5.4 3.08 -0.41 2.82 1.93 4.74
4.31 5.84 1.74 4.09 8.36 2.35 4.51 3.95 5.54 5.36
4.07 8.25 2.89 5.79 3.18 4.21 2.27 4.39 5.83 4.94
5.5 6.24 7.23 5.99 6.57 2.98 3.41 4.7 -0.19 4.06
4.25 1.57 6.89 4.84 4.75 3.81 3.78 3.05 2.61 4.5
4.45 2.25 6.52 5.17 2.76 6.89 4.51 4.43 3.19 3.29
7.58 9.79 2.88 5.84 6.45 6.61 5.66 4.29 6.64 5.61
5.39 6.47 4.17 3.40 5.58 4.33 7.27 2.71 7.13 3.3
9.17 4.99 8.21 4.73 3.24 1.4 3.78 4.81 3.4 4.0

[1] Методичною радою університету – для загальноуніверситетських дисциплін.