ВИЩА МАТЕМАТИКА-3. РЯДИ. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Робоча програма навчальної дисципліни (Силабус)

Реквізити навчальної дисципліни

Рівень вищої освіти	Перший (бакалаврський)
Галузь знань	12 Інформаційні технології
Спеціальність	126 Інформаційні системи та технології
Освітня програма	Інтегровані інформаційні системи
Статус дисципліни	Нормативна
Форма навчання	очна(денна)/дистанційна
Рік підготовки, семестр	2 курс, осінній семестр
Обсяг дисципліни	150 годин (54 годин – Лекції, 36 годин – Лабораторні, 60 годин – СРС)
Семестровий контроль/ контрольні заходи	Екзамен/екзаменаційна письмова робота
Розклад занять	http://rozklad.kpi.ua/Schedules/ScheduleGroupSelection.aspx
Мова викладання	Українська
Інформація про керівника курсу / викладачів	Лектор: к.т.н., Тимошенко Олена Анатоліївна, otymoshenkokpi@gmail.com, моб. +38(097)257-95-88
Розміщення курсу	https://campus.kpi.ua

Програма навчальної дисципліни

Опис навчальної дисципліни, її мета, предмет вивчання та результати навчання

Опис дисципліни. Відповідно до навчального плану кредитний модуль « Вища математика-3. Ряди. Операційне числення» входить до навчальної дисципліни «Вища математика», належить до циклу математичної, природничо-наукової підготовки та має домінуюче значення у підготовці фахівця. Даний кредитний модуль ґрунтується на знаннях студентів, набутих при вивченні кредитних модулів «Вища математика-1» , «Вища математика-2» та є їх логічним продовженням.

Дисципліна «Вища математика» є однією з фундаментальних загальноосвітніх дисциплін, що складають теоретичну основу підготовки інженерів та програмістів. Знання та вміння, отримані студентом під час вивчення даної навчальної дисципліни, використовуються в подальшому при вивченні багатьох наступних дисциплін професійної підготовки фахівця з базовою та повною вищою освітою. При проходженні даної дисципліни, студенти познайомляться з основами теорії рядів, теорії гармонічного аналізу, теорії функцій комплексної змінної, основами операційного числення. На практичних заняттях опанують методи розв’язання основних задач з усіх розділів. В курсі передбачений контроль якості отриманих знань у вигляді експрес-контрольних та модульних контрольних робіт, розрахункових робіт.

Предмет навчальної дисципліни: числові та функціональні ряди, ряди та інтеграл Фур’є, теорія функцій комплексної змінної, операційне числення.

Міждисциплінарні зв’язки. Кредитний модуль «Вища математика-3» входить до навчальної дисципліни «Вища математика», належить до циклу математичної, природничо-наукової підготовки та має домінуюче значення у підготовці фахівця. Даний кредитний модуль ґрунтується на знаннях студентів, набутих при вивченні кредитних модулів «Вища математика-1» , «Вища математика-2» та є їх логічним продовженням.

У структурно-логічній схемі програми підготовки з даного напряму навчальна дисципліна «Вища математика» (МПН 01) передує і забезпечує наступні навчальні дисципліни у програмі підготовки фахівця: «Фізика» (МПН 02), «Спецрозділи математики» (МПН 03), «Програмування» (МПН 05), «Комп’ютерна електроніка» (ПП 04), «Теорія автоматичного управління» (ПП 06), «Математичне програмування та дослідження операцій» (ПП 17).

Мета навчальної дисципліни. Метою навчальної дисципліни є формування у студентів здатностей:

• до застосування знань та умінь, отриманих після засвоєння кредитного

  модуля «Вища математика-3», при вивченні загально інженерних та спеціальних дисциплін;

• використовувати дослідження збіжності рядів, розклад функцій у

  степеневі та тригонометричні ряди, застосування рядів для наближених обчислень, застосування функцій комплексної змінної до вивчення спеціальних типів інтегралів, знаходження та використання інтегральних перетворень функцій в інженерних розрахунках;

• до самостійного вивчення наукової літератури з математики та її

  застосування в математичному дослідженні прикладних задач.

Основні завдання навчальної дисципліни

Знання:

• основ теорії рядів (означення числового ряду та його властивості, ознаки збіжності додатних рядів, абсолютна та умовна збіжність для знакозмінних рядів; означення функціонального ряду, його області збіжності та суми; степеневі ряди, їх властивості; ряд Тейлора, ряди Тейлора для основних елементарних функцій, застосування до наближених обчислень);

• основ теорії гармонічного аналізу (тригонометричні ряди Фур’є, основні означення, умови розкладання функції в ряд Фур’є, інтеграл та перетворення Фур’є);

• основ теорії функцій комплексної змінної (елементарні функції комплексної змінної, диференціювання та інтегрування функцій комплексної змінної, ряди в комплексній площині, теорія лишків);

• основ операційного числення (пряме та обернене перетворення Лапласа, властивості, застосування операційного числення до розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем, інтегральних рівнянь);

Уміння:

• досліджувати на збіжність числові та функціональні ряди, розкладати функції у степеневі ряди, наближено обчислювати за допомогою степеневих рядів значення функцій та визначені інтеграли, використовувати ряди для знаходження границь та розв’язків диференціальних рівнянь;

• розкладати функції в ряд Фур’є, представляти функції інтегралом Фур’є, знаходити перетворення Фур’є;

• визначати типи функцій комплексної змінної, досліджувати функції на диференційованість, обчислювати інтеграли функцій комплексної змінної, розкладати функції комплексної змінної у ряди Тейлора і Лорана, класифікувати їх особливі точки, обчислювати лишки функцій і застосовувати їх до обчислення інтегралів;

• знаходити зображення та оригінали і використовувати перетворення Лапласа для розв’язання диференціальних рівнянь та їх систем, інтегральних рівнянь.

Пререквізити та постреквізити дисципліни (місце в структурно-логічній схемі навчання за відповідною освітньою програмою)

Пререквізити: Даний кредитний модуль ґрунтується на знаннях студентів, набутих при вивченні кредитних модулів «Вища математика-1» , «Вища математика-2» та є їх логічним продовженням.

Постреквізити: після проходження дисципліни студенти матимуть наступні компетентності:

• здатність до абстрактного мислення, аналізу та синтезу (ЗК-1);

• здатність проектувати, розробляти та використовувати засоби реалізації інформаційних систем, технологій та інфокомунікацій (ФК 4);

• здатність до алгоритмічного та логічного мислення (ФК 15).

Отримані під час вивчення кредитного модуля «Вища математика–3. Ряди. Операційне числення» теоретичні знання та засвоєні практичні навички використовуються в подальшому під час вивчення переважної більшості навчальних дисциплін спеціальності. Забезпечує наступні навчальні дисципліни: «Теорія ймовірностей, ймовірнісні процеси і математична статистика» (ЗО 6), «Додаткові розділи теорії ймовірностей, ймовірнісних процесів і математичної статистики» (ПО 5), «Дослідження операцій» (ПО 7), «Навчальна дисципліна з теорії прийняття рішень» (ПВ 6), «Моделювання процесів і систем» (ЗО 8).

Зміст навчальної дисципліни

Назва розділів і тем	Кількість годин
	Всього	у тому числі
		Лекції	Практичні	СРС
1	2	3	4	5
Розділ 1. Ряди.
Тема 1. Числові ряди.	25	6	8	11
Тема 2. Функціональні ряди.	18	6	4	8
Тема 3.Ряди Фур’є та інтеграл Фур’є.	19	6	5	8
Контрольна робота 1	3		1	2
Розрахункова робота	10			10
Разом за розділом 1	75	18	18	39
Розділ 2. Векторні і комплексні функції дійсної змінної.
Тема 1. Функції комплексної змінної.	33	10	10	13
Тема 2. Операційне числення.	20	8	5	7
Контрольна робота 2	3		1	2
Розрахункова робота	5			5
Разом за розділом 2	61	18	16	27
Диференційований залік	8		2	6
Всього годин	198	54	36	108

Навчальні матеріали та ресурси

Базова література

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2000. – 256 с.

2. Дубовик В. П. Вища математика: навч. посібн. / В. П. Дубовик, І. І Юрик. . – К.: А.С.К., 2005. – 648 с.

3. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. Конспект лекцій. (ІІ курс І семестр) / Уклад.: В. О. Гайдей, Л. Б. Федорова, І. В. Алєксєєва, О. О. Диховичний. – К.: НТУУ «КПІ», 2013. – 108 с.

4. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення.Практикум. (ІІ курс І семестр) / Уклад.: В. О. Гайдей, Л. Б. Федорова, І. В. Алєксєєва, О. О. Диховичний. – К.: НТУУ «КПІ», 2013. – 160 с.

5. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студ. 2-го курсу технічних факультетів / Уклад. С. В. Горленко, Л. Б. Федорова, В. О. Гайдей. ‒ К.: Видавництво ІВЦ «Політехніка», 2003. – 36 с.

6. Коваленко В. Ф. ТР-19. Збірник завдань до ТР по темі «Ряди». [Рукопис] : перелік питань/завдань до розрахункових робіт / В. Ф.  Коваленко [Електронний ресур****с]. – К. : НТУУ «КПІ», Система електронний кампус НТУУ « КПІ». – 11.09.2013. – 13 с. – Режим доступу: сampus. kpi.ua/tutor/index.php?mode=mob&show&irid=58201

7. Коваленко В. Ф. ТР-2. Збірник завдань до ТР по темі «ТФКЗ та операційне числення . [Рукопис] : перелік питань/завдань до розрахункових робіт / В. Ф.  Коваленко [Електронний ресур****с]. – К. : НТУУ «КПІ», Система електронний кампус НТУУ « КПІ». – 11.09.2013. – 14 с. – Режим доступу: campus. kpi.ua/tutor/index.php?mode=mob&show&irid=58023

Допоміжна література

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: уч. пособие / Г. Н. Берман – 22-е изд., перераб. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2005. – 432 с.

2. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Болгов В. А., Демидович Б. П., Ефимов А. В. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1986. – 368 с.

3. Бугров Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Наука, 1981.

4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов. В 2-х т. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2002. –  Т.2. – 544 с.

5. Мартыненко В.С. Операционное исчисление. ‒ М.: Наука, 1973.

6. Краснов М.Л. Функции комплексного переменного: Задачи и примеры с подробными решениями: уч. пособие. Изд. 3-е, испр. / Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 208 с.

Інформаційні ресурси

1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 2 часть. – М.: Рольф, 2000. – 256 с. – Режим доступу:

2. http//edu-lib.net/matematika-2/dlya-studentov/pismennyiy-d-t-ronspekt-lektsiy-po-vyis

3. Дубовик В.П. Вища математика: навч. посібн. / Дубовик В.П., Юрик І.І. – К.: А.С.К., 2005. – 648 с. – Режим доступу:

4. http://library.kpi.ua:8991/F/V467KL684MQGAPRA4I9MDIFGD2VHBNMNQBARSIJGRU6SKIP181-01757?func=full-set-set&set_number=797795&set_entry=000003&format=999

5. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. Конспект лекцій. (ІІ курс І семестр) / В. О. Гайдей, Л. Б. Федорова, І. В. Алєксєєва, О. О. Диховичний. – К.: НТУУ «КПІ», 2013. – 108 с. – Режим доступу:

6. matan.kpi.ua/public/files/Kонспект%20Riady.%20FKZ.%20Operacijne%chyslenia.pdf

7. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення. Практикум. (ІІ курс І семестр) / І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. – К.: НТУУ «КПІ», 2014. – 160 с. – Режим доступу:

8. matan.kpi.ua/public/files/PraktykumRiady.pdf

9. Ряди. Теорія функцій комплексної змінної. Операційне числення: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студ. 2-го курсу технічних факультетів / Уклад. С. В. Горленко, Л. Б. Федорова, В. О. Гайдей. ‒ К.: Видавництво ІВЦ «Політехніка», 2003. – 36 с. – Режим доступу:

10. matan.kpi.ua/public/files/Ряди.pdf

11. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: уч. пособие. – 22-е изд., перераб. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2005. – 432 с. – Режим доступу:

12. http://library.kpi.ua:8991/F/V467KL684MQGAPRA4I9MDIFGD2VHBNMNQBARSIJGRU6SKIP181-00665?func=full-set-set&set_number=797808&set_entry=000004&format=999

13. Бугров Я.С. Высшая математика. Дифференцыальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – Ростов на Дону. : Феникс, 1997. – 512 с. – Режим доступу:

14. http://library.kpi.ua:8991/F/V467KL684MQGAPRA4I9MDIFGD2VHBNMNQBARSIJGRU6SKIP181-00687?func=full-set-set&set_number=817704&set_entry=000005&format=999

15. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления : учеб. пособие для втузов. В 2-х т. / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2002. –  Т.2. – 544 с. – Режим доступу:

16. http://library.kpi.ua:8991/F/V467KL684MQGAPRA4I9MDIFGD2VHBNMNQBARSIJGRU6SKIP181-01000?func=full-set-set&set_number=817706&set_entry=000010&format=999

**
**

Навчальний контент

Методика опанування навчальної дисципліни (освітнього компонента)

Очна/дистанційна форма

Лекційні заняття

№ з/п	Назва теми лекції та перелік основних питань (перелік дидактичних засобів, посилання на літературу та завдання на СРС)
1	Числові ряди. Означення числового ряду і його збіжності,суми ряду.Ряд геометричної прогресії. Необхідна умова збіжності ряду, достатня умова розбіжності. Рекомендована література: [1], §13; [2], гл.9, §1; [3], Лекція 1. Завдання на СРС: Основні властивості числових рядів. [1], §13; [3], Лекція 1.
2	Числові ряди з додатними членами, достатні ознаки збіжності. Інтегральна ознака Коші, ознаки порівняння, ознака Даламбера, радикальна ознака Коші. Рекомендована література: [1], §14; [2], гл.9, §1; [3], Лекція 2.
3	Знакозмінні числові ряди. Знакопочергові числові ряди. Теорема Лейбніца, оцінка залишку ряду. Достатня умова збіжності знакозмінного ряду. Абсолютно і умовно збіжні ряди, їх властивості. Рекомендована література: [1], §15; [2], гл.9, §1; [3], Лекція 3.
4	Функціональні ряди. Поняття функціонального ряду, його області збіжності, суми. Знаходження області збіжності функціонального ряду. Рекомендована література: [1], §16; [2], гл.9, §2; [3], Лекція 4. Завдання на СРС: Поняття рівномірної збіжністі функціонального ряду, теорема Вейєрштрасса. Властивості рівномірно збіжних рядів [2], гл.9, §2; [3], Лекція 4.
5	Степеневі ряди. Область збіжності. Радіус збіжності та його обчислення. Властивості степеневих рядів. Рекомендована література: [1], §17; [2], гл.9, §2; [3], Лекція 5.
6	Ряд Тейлора. Теорема єдиності розкладу функції в степеневий ряд. Означення ряду Тейлора та достатня умова збіжності цього ряду. Ряд Маклорена для деяких елементарних функцій. Рекомендована література: [1], §18; [2], гл.9, §2; [3], Лекція 6. Завдання на СРС: [1], §19; [2], гл.9, §2; [3], Лекція 6.
7	Застосування степеневих рядів до наближених обчислень. Наближене обчислення значення функції в точці, визначених інтегралів. Застосування до розв’язання диференціальних рівнянь. Рекомендована література: [1], §19; [2], гл.9, §2; [3], Лекція 6.
8	Ряди Фур’є. Властивості періодичних функцій. Ортогональні системи функцій. Ортогональність тригонометричної системи функцій. Означення тригонометричного ряду. Обчислення коефіцієнтів рівномірно збіжного на [–l; l] тригонометричного ряду. Рекомендована література: [1], §20; [2], гл.9, §3; [3], Лекція 7. Завдання на СРС: Періодичні функції та періодичні процеси. [1], §20; [3], Лекція 7.
9	Ряди Фур’є. Тригонометричний ряд Фур’є для 2π-періодичної функції та функцій з періодом T=2l.Теорема Діріхле. Ряд Фур'є для парних і непарних функцій. Рекомендована література: [1], §21; [2], гл.9, §3; [3], Лекція 7.
10	Ряд Фур'є для функцій, заданих на відрізку [a, b] та [0,l]. Комплексна форма ряду Фур’є. Спектральні характеристики ряду Фур’є. Амплітудний та фазовий спектр функції. Рекомендована література: [1], §21; [2], гл.9, §3; [3], Лекція 8.
11	Інтеграл Фур’є. Достатні умови збіжності інтегралу Фур’є. Інтеграл Фур’є для парних і непарних функцій. Інтеграл Фур’є в комплексній формі, перетворення Фур’є. Спектральні характеристики інтегралу Фур’є. Рекомендована література: [1], §22; [2], гл.9, §4; [3], Лекція 15.
12	Інтеграл Фур’є в комплексній формі. Означення перетворення Фур’є, синус та косинус перетворення Фур’є. Спектральні характеристики інтегралу Фур’є. Рекомендована література: [1], §22; [2], гл.9, §4; [3], Лекція 15.
13	Комплексні числа. Алгебраїчна, тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Рекомендована література: [2], гл.7, §1, п. 1.4;
14	Функції комплексної змінної. Означення, границя та неперервність функції комплексної змінної. Основні елементарні функції комплексної змінної. Рекомендована література: [1], §28; [3], Лекція 9. Завдання на СРС: Обернені тригонометричні функції комплексної змінної. [[3], Лекція 9.
15	Диференціювання функцій комплексної змінної. Похідна. Умови Коші-Рімана. Аналітичні і гармонічні функції. Рекомендована література: [1], §28; [3], Лекція 10.
16	Інтегрування функцій комплексної змінної. Означення, властивості та обчислення інтеграла від функції комплексної змінної. Теорема Коші. Формула Ньютона-Лейбніца. Рекомендована література: [1], §29; [3], Лекція 11.
17	Ряди Тейлора і Лорана. Розвинення аналітичної функції в ряд Тейлора та Лорана. Формули Ейлера. Рекомендована література: [1], §30; [3], Лекція 12.
18	Ряд Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок аналітичної функції. Рекомендована література: [1], §30; [3], Лекція 13.
19	Лишки функції. Поняття лишку функції в її ізольованій особливій точці. Формули обчислення лишків. Рекомендована література: [1], §31; [3], Лекція 13.
20	Теорема Коші про лишки. Застосування лишків до обчислення інтегралів. Рекомендована література: [1], §31; [3], Лекція 14.
21	Перетворення Лапласа. Означення функції оригіналу та перетворення Лапласа. Теорема існування зображення. Елементарні властивості перетворення Лапласа. Таблиця оригіналів і зображень. Рекомендована література: [1], §32; [3], Лекція 16.
22	Перетворення Лапласа. Властивості перетворення Лапласа. Зображення згортки функцій. Інтеграл Дюамеля. Знаходження оригіналу за зображенням у випадку, коли зображення є раціональною функцією. Рекомендована література: [1], §32; [3], Лекція 16.
23	Перетворення Лапласа. Зображення згортки функцій. Інтеграл Дюамеля. Знаходження оригіналу за зображенням у випадку, коли зображення є раціональною функцією. Рекомендована література: [1], §32; [3], Лекція 16.
24	Обернене перетворення Лапласа. Формула Рімана-Мелліна. Перша та друга теореми розвинення. Обчислення оригіналу за допомогою лишків. Рекомендована література: [1], §33; [3], Лекція 17.
25	Застосування перетворення Лапласа. Операційний метод розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та систем таких рівнянь, інтегральних рівнянь. Рекомендована література: [1], §34; [3], Лекція 17.
26	Основні типи диференціальних рівнянь в частинних похідних 2-го порядку. Приклади: рівняння коливань струни, рівняння теплопровідності, рівняння Лапласа. Постановка задач. Розв’язок задачі Коші для рівняння коливань скінченної струни методом Даламбера. Рекомендована література (допоміжна): [3], розділ 14, § 14.1-14.2.2.
27	Метод Фур’є відокремлення мінних для рівняння коливань скінченної струни. Рекомендована література (допоміжна): [3], розділ 14, § 14.2.3.

Практичні заняття

Основні завдання циклу практичних занять: навчити студента самостійно розв’язувати всі типи математичних задач, які належать до кредитного модуля «Вища математика-3».

№ з/п	Назва теми заняття та перелік основних питань (перелік дидактичного забезпечення, посилання на літературу та завдання на СРС)
1	КРЗЗ-2. Контрольна робота по збереженню знань (за І та ІІ семестр). Завдання на СРС: [4], Додаток А.1.Допоміжні відомості, стр. 153.
2	Числові ряди. Збіжність та сума ряду. Ряд геометричної прогресії. Необхідна умова збіжності, достатня умова розбіжності. Дидактичне забезпечення: [4], 1. Завдання на СРС: [4], 1.8. 1), 1.9. 1)- 4), 8)-10); [5], 1. 1), 2. 3).
3	Числові ряди з додатними членами. Ознака Даламбера та радикальна ознака Коші, ознаки порівняння. Інтегральна ознака Коші. Дидактичне забезпечення: [4], 2. Завдання на СРС: [4], 2.8. 1), 2.9. 1), 3),6), 2.10. 5),7), 2.11. 1),3), 2.12. 1); [5], 1. 3)- 6).
4	Знакозмінні числові ряди. Теорема Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність. Дидактичне забезпечення: [4], 3. Завдання на СРС: [4], 3.1.2, 3.1.3, 3.1.4, 3.3. 2),10); [5], 1. 7), 8).
5	Степеневі ряди. Область збіжності. Властивості. Ряд Тейлора. Розвинення функції в ряд Тейлора. Дидактичне забезпечення: [4], 5-6. Завдання на СРС: [4], 5.1.1, 5.1.2, 5.1.3, 5.1.5, 6.1.3, 6.2.2, 6.2.4; [5], 1. 10), 3. 2), 3).
6	Застосування степеневих рядів до наближених обчислень. Наближене обчислення значень функції в точці та визначених інтегралів, розв’язування диференціальних рівнянь. Дидактичне забезпечення: [4], 6. Завдання на СРС: [4], 6.3.1, 6.4, 6.6. 3), 6.7. 3), 6.8. 2); [5], 4. 1), 2), 3. 4).
7	Розвинення функцій в тригонометричний ряд Фур’є. З періодом Т=2π, з періодом T=2l, заданих на відрізку [a, b] або [0,l]. Дидактичне забезпечення: [4], 7. Завдання на СРС: [4], 7.8. 3), 7.9. 1), 7.11. 1), 7.12. 1); [5], 5. 2); [6], 14,15,16.
8	Інтеграл Фур’є, перетворення Фур’ є. Дидактичне забезпечення: [4], 16. Завдання на СРС: [4], 16.2.1, 16.2.2; [5], 6; [6], 17,18.
9	МКР-1.
10	Комплексні числа та дії над ними Елементарні функції комплексної змінної. Дидактичне забезпечення: [4], 9. Завдання на СРС: [4], 9.5. 3)-5), 9.6. 1), 2), 9.7. 2), 9.8. 1)- 5), 9.9. 6); [5], 7. 1), 2); [7], 1-3.
11	Диференціювання функцій комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Аналітичні функції. Дидактичне забезпечення: [4], 10. Завдання на СРС: [4], 10.1.1, 10.1.2, 10.8. 2), 3), 10.11. 7); [5], 9; [7], 4-5.
12	Інтегрування функції комплексної змінної. Дидактичне забезпечення: [4], 11. Завдання на СРС: [4], 11.7. 3), 5); [7], 6-8.
13	Лишки. Ряди Тейлора та Лорана. Обчислення лишків та їх застосування до обчислення контурних інтегралів. Дидактичне забезпечення: [4], 12-15. Завдання на СРС: [4], 14.3. 1), 3), 8), 15.1.2, 15.1.3, 15.3. 1)- 3); [7], 9-12.
14	Лишки. Обчислення визначених та невласних інтегралів за допомогою лишків. Дидактичне забезпечення: [4], 10. Завдання на СРС: [4], 15.2.1, 15.2.2, 15.2.3.; [5], 13. 4), 5), 6).
15	Перетворення Лапласа. Знаходження оригіналів та зображень, користуючись властивостями та таблицею зображень. Застосування лишків до знаходження оригіналів. Дидактичне забезпечення: [4], 17-18. Завдання на СРС: [4], 17.11. 5), 6), 18.5. 1), 3); [7], 13-14.
16	Застосування перетворення Лапласа. Розв’язання лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, систем таких рівнянь та інтегральних рівнянь операційним методом. Дидактичне забезпечення: [4], 19. Завдання на СРС: [4], 19.4.; 19.5. ; [5], 15. 2), 4), 16; [7], 15.
17	МКР-2.
18	Розв’язок задачі Коші для рівняння коливань скінченної струни методом Даламбера.

Самостійна робота студента/аспіранта

№ з/п	Назва теми, що виноситься на самостійне опрацювання
1	Розділ 1. Основні властивості числових рядів. Рекомендована література: [1], §13; [2], гл.9, §1; [3], Лекція 1.
2	Розділ 1. Поняття рівномірної збіжністі функціонального ряду, теорема Вейєрштрасса. Властивості рівномірно збіжних рядів. Рекомендована література: [2], гл.9, §2; [3], Лекція 4.
3	Розділ 1. Періодичні функції та періодичні процеси. Рекомендована література: [1], §20; [3], Лекція 7.
4	Розділ 2. Обернені тригонометричні функції комплексної змінної. Рекомендована література: [2], гл.7, §1, п. 1.4; [3], Лекція 9.
5	Розділ 2. Застосування лишків до обчислення визначених і невластивих інтегралів. Рекомендована література: [3], Лекція14.

Індивідуальні завдання

Індивідуальні завдання складаються з розрахункової роботи «Ряди. Функції комплексної змінної. Операційне числення», частина якої є письмовою роботою, частина проводитья у форматі тестування.

Розрахункова робота сприяє поглибленому засвоєнню методів розв’язку типових математичних задач, що мають прикладне значення.Збірник завдань до розрахункової роботи [5], [6], [7] є додатком до даної робочої програми та знаходяться у методичному кабінеті кафедри і в електронному вигляді у електронному кампусі університету. Методичні вказівки до виконання розрахункової роботи [4], є у методичному кабінеті кафедри і в електронному вигляді у електронному кампусі університету. Тестова частина розроблена за допомогою платформи Moodle, та міститься за посиланням на кафедральному сайті https://do.matan.kpi.ua/

Контрольні роботи

Запланована одна модульна контрольна робота, яка поділяється на дві контрольні роботи з розділів 1-3:

1. МКР-1. *Числові ряди. Функціональні і тригонометричні ряди,

   перетворення Фур’є.*

2. МКР-2. Функції комплексної змінної. Операційне числення.

Мета модульних контрольних робіт – виявити рівень засвоєння відповідних модулів, підрахування балів за кредитно-модульною системою модулів,

Контрольні завдання для кожної контрольної роботи додаються до робочої навчальної програми (зберігаються у метод. кабінеті кафедри).

**
**

Політика та контроль

Політика навчальної дисципліни (освітнього компонента)

Система вимог, які ставляться перед студентом:

• відвідування лекційних та практичних занять є обов’язковою складовою вивчення матеріалу;

• на лекції викладач користується власним конспектом лекцій та презентаційним матеріалом; використовує гугл-диск для викладання матеріалу поточної лекції, додаткових ресурсів, матеріалу для самостійної роботи та інше; викладач відкриває доступ до відповідного курсу у системі Moodle для виконання індивідуальних робіт у вигляді тестів;

• на лекції заборонено відволікати викладача від викладання матеріалу, усі питання, уточнення та ін. студенти задають в кінці лекції у відведений для цього час;

• Індивідуальні роботи захищаються;

• модульні контрольні роботи пишуться на практичних заняттях без застосування допоміжних засобів (мобільні телефони, планшети та ін.); результат пересилається у файлі до відповідної директорії гугл-диску;

• заохочувальні бали виставляються за: активну участь на лекціях; участь у факультетських та інститутських олімпіадах з навчальних дисциплін, участь у конкурсах робіт, підготовка оглядів наукових праць; презентацій по одній із тем СРС дисципліни, тощо. Кількість заохочуваних балів не більше 5;

Види контролю та рейтингова система оцінювання результатів навчання (РСО) (очна\дистанційна форма)

Розподіл навчального часу за видами занять і завдань з дисципліни згідно з робочим навчальним планом.

Семестр	Навч. час		Розподіл навчальних годин			Контрольні заходи
	Кредити	Акад. год.	Лекції	Практичні	СРС	МКР	РР	Семестр. атест.
1	5	150	54	36	60	1	1	Екзамен

• Рейтинг студента з кредитного модуля розраховується виходячи із

  100-бальної шкали, з них 50 балів складає стартова шкала. Стартовий рейтинг (протягом семестру) складається з балів, що студент отримує за:

• роботу на практичних заняттях;

• виконання модульної контрольної роботи;

• виконання розрахункової роботи.

• Критерії нарахування балів:

Робота на практичних заняттях:

• Короткочасні контрольні роботи оцінюються із 1 балу кожна (10

  короткочасних контрольних робіт ):

  • якщо задача повністю розв’язана, то студент отримує 1 бал;

  • якщо відповідь правильна, але у розв’язку є неточності, то студент отримує 0,5 бали;

  • якщо незадовільна відповідь, метод розв’язування задачі неправильний – 0 балів;

• За умови гарної підготовки і активної роботи на практичному занятті

  одному або двом кращим студентам на кожному практичному занятті може бути добавлений як заохочувальний 1 бал. Максимальна кількість заохочувальних балів на всіх практичних заняттях дорівнює 1 бал х 5 = 5 балів.

Модульну контрольну роботу (МКР) розбито на 2 частини:

• МКР-1: ваговий бал – 5 балів;

• МКР-2: ваговий бал – 10 балів.

Кожна модульна контрольна робота складається з 5 задач. Ваговий бал кожної задачі МКР-1 – 1 бал, , МКР-2 – 2 бали. Розв’язок задачі для МКР-1 оцінюється в 0-1 бал наступним чином:

• якщо задача повністю розв’язана, то студент отримує 1 бал;

• якщо відповідь правильна, але у розв’язку є неточності, то студент

  отримує 0,5 бали;

• якщо незадовільна відповідь, метод розв’язування задачі неправильний

  – 0 балів.

Розв’язок задачі для МКР-2 оцінюється в 0-2 бали наступним чином:

• якщо задача повністю розв’язана, то студент отримує 2 бали;

• якщо відповідь правильна, але у розв’язку є неточності, то студент

  отримує 1 бал;

• якщо незадовільна відповідь, метод розв’язування задачі неправильний

  – 0 балів.

Розрахункову роботу розбито на 4 частини:

• ряди – 8 балів;

• інтегральне та диференціальне числення функції комплексної змінної: ваговий бал – 8 балів;

• операційне числення: ваговий бал – 4 бали.

Робота оцінюється у процентному відношенні правильно розв’язаних завдань.

Штрафні та заохочувальні бали за:

• кожний тиждень затримки із поданням розрахункової роботи

  нараховується штрафний –1 бал (усього не більше –5 балів);

• призові місця у факультетських та інститутських олімпіадах з вищої

  математики; підготовка та захист рефератів, виконання завдань з удосконалення дидактичних матеріалів з кредитного модуля; виконання індивідуального семестрового завдання: 1-5 балів (усього не більше 5 балів).

• Умовою позитивної першої та другої атестацій є отримання у поточному

  рейтингу не менше 50% можливих на даний момент балів.

• Умовою допуску до екзамену є зарахування розрахункової роботи та

  стартовий рейтинг студента не менше 30 балів.

• На екзамені студенти виконують письмову контрольну роботу. Кожний

  варіант складається з 1 теоретичного питання та 4 практичних. Перелік запитань наведений у Рекомендаціях до засвоєння кредитного модуля. Кожне запитання (завдання) оцінюється у 10 балів за такими критеріями:

• «відмінно», повна відповідь, не менше 90% потрібної інформації, що

  виконана згідно з вимогами до рівня «умінь», (повне, безпомилкове розв’язування завдання) – 9-10 балів;

• «добре», достатньо повна відповідь, не менше 75% потрібної

  інформації, що виконана згідно з вимогами до рівня «умінь» або є незначні неточності (повне розв’язування завдання з незначними неточностями) – 7-8 балів;

• «задовільно», неповна відповідь, не менше 60% потрібної інформації,

  що виконана згідно з вимогами до «стереотипного» рівня та деякі помилки (завдання виконане з певними недоліками) – 4-6 балів;

• «незадовільно», відповідь не відповідає умовам до «задовільно»

  (незадовільна відповідь, неправильний метод розв’язування) – 0-4 бали.

• Сума стартових балів та балів за екзаменаційну контрольну роботу

  переводиться до екзаменаційної оцінки згідно з таблицею 1:

Таблиця 1

Бали	Оцінка
100…95	Відмінно
94…85	Дуже добре
84…75	Добре
74…65	Задовільно
64…60	Достатньо
Менше 60	Незадовільно
0…29 або не зараховано розрахункову роботу	Не допущено

• **Увипадку дистанційної форми навчання у РСО відбуваються наступні

  зміни:**

  • Контрольні заходи проводяться дистанційно із застосуванням електронної пошти, Telegram, Zoom та освітньої платформи Moodle, зокрема у вигляді тестових контрольних робіт.

  • Максимальну суму вагових балів контрольних заходів протягом семестру встановлюється на рівні 50 балів.

  • Допусковий бал до екзамену встановлюється на рівні 30 балів.

  • Сума балів , набрана студентом протягом семестру згідно затвердженого РСО, повідомляється на останньому практичному занятті.

  • Підтвердження виконання студентом вимог поточного контролю та умов допуску до екзамену повинно бути відображено в Електронному кампусі.

  • У разі не отримання студентом допускового балу, йому надається можливість підвищити шляхом проведення додаткових контрольних заходів до допускового з відповідним відображенням результатів в Електронному кампусі.

  • Рівень набуття передбачених навчальною програмою компетентностей визначається на підставі проведених заходів поточного контролю, а також виконання студентом умов допуску до екзамену відповідно до затвердженого РСО.

  • Екзаменаційна оцінка може бути виставлена «автоматом» за формулою  шляхом перерахунку стартових балів за 100-бальною шкалою:

.

Переводиться до екзаменаційної оцінки згідно з таблицею 1.

Додаткова інформація з дисципліни (освітнього компонента)

• передбачена можливість закривати частину лабораторного та лекційного матеріалу шляхом здобування сертифікатам по online курсам (наприклад, COURSERA) відповідних розділів та тем дисципліни;

• перелік теоретичних питань, які виносяться на семестровий контроль наведено в Додатку 1;

• на початку семестру викладач аналізує існуючі курси по тематиці дисципліни та пропонує пройти відповідні безкоштовні курси студентам. Після отриманням студентом сертифікату проходження дистанційних чи онлайн курсів за відповідною тематикою, викладач закриває відповідну частину курсу (практичну чи лекції) за попередньою домовленістю з групою.

Робочу програму навчальної дисципліни (Силабус):

Складено доцент, к.т.н., Тимошенко Олена Анатоліївна

Ухвалено кафедрою математичного аналізу та теорії ймовірностей (протокол № 1 від 27.08.2020 р.)

Погоджено Методичною комісією факультету[1] (протокол № 1 від 02.09.2020 р.)

Додаток 1

Перелік теоретичних питань на іспит

1. Числові ряди. Загальні поняття: означення числового ряду, частинної суми; збіжні числові ряди та їх властивості, необхідна ознака збіжності, наслідок. Геометричний ряд. Критерій Коші збіжності числових рядів. Гармонічний ряд.

2. Додатні числові ряди. Ознаки порівняння та Даламбера збіжності числових рядів. Наслідки.

Обчислення границі

3. Радикальна ознака Коші. Інтегральна ознака збіжності додатного числового ряду. Збіжність

узагальненого гармонічного ряду.

4. Знакозмінні числові ряди. Теорема Лейбніца, наслідок.

5. Абсолютно та умовно збіжні числові ряди та їх властивості. Теорема Рімана.

6. Функціональні послідовності. Область збіжності. Гранична функція послідовності. Рівномірна

збіжність функціональної послідовності. Функціональні ряди. Область здібності, сума ряду. Рівномірна збіжність функціонального ряду. Необхідна і достатня умови.

7. Рівномірно збіжні функціональні ряди. Означення рівномінорної збіжності. Критерій Коші.

Теорема Вейєрштрасса.

8. Рівномірно збіжні функціональні ряди. Теорема про неперервність суми.

9. Рівномірно збіжні функціональні ряди. Теореми про диференціювання та інтегрування рівномірно збіжних функціональних рядів.

10. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Радіус та інтервал збіжності. Властивості степеневих рядів.

11. Ряди Тейлора та Маклорена: означення та властивості. Розклад функції в ряд Тейлора: методологія знаходження. Розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена. Доведення формул для , та .

12. Ряди Тейлора та Маклорена: означення та властивості. Розклад функції в ряд Тейлора: методологія знаходження. Розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена. Доведення формул для , та .

13. Ряди Тейлора та Маклорена: означення та властивості. Розклад функції в ряд Тейлора: методологія знаходження. Розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена. Доведення формули для .

14. Ряди Тейлора та Маклорена: означення та властивості. Розклад функції в ряд Тейлора: методологія знаходження. Розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена. Доведення формул для , .

15. Ряди Тейлора та Маклорена: означення та властивості. Розклад функції в ряд Тейлора: методологія знаходження. Розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена. Доведення формули для .

16. Застосування степеневих рядів до наближених обчислень значень функції, визначених інтегралів та наближених розв’язків диференціальних рівнянь (метод послідовного диференціювання).

17. Тригонометричний ряд Фур’є: Вивід формул знаходження ряду Фур’є, що відповідає даній - періодичній функції, теорема Дирихле, розклад парних та непарних функцій.

18.Розклад в ряд Фур’є функцій довільного періоду. Представлення неперіодичної функції рядом Фур’є.

19. Комплексна форма ряду Фур’є.

20. Інтеграл Фур’є та перетворення Фур’є.

21. Функції комплексного змінного: основні поняття, границя та неперервність. Основні елементарні функції комплексного змінного: показникові та логарифмічна функції

22.Функції комплексного змінного: основні поняття, границя та неперервність. Основні елементарні функції комплексного змінного: степенева та тригонометричні функції

23. Функції комплексного змінного: основні поняття, границя та неперервність. Основні елементарні функції комплексного змінного: гіперболічні, обернені тригонометричні та гіперболічні функції

24. Диференціювання функцій комплексного змінного. Теорема Коші-Рімана. Аналітичні функції та диференціал.

25. Інтегрування функцій комплексного змінного: означення властивості та правила знаходження.

26.Теорема Коші. Первісна та невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтеграл та інтегральна формула Коші

27. Ряди в комплексній площині: Числові та степеневі ряди, ряд Тейлора.

28. Нулі аналітичної функції. Ряд Лорана. Класифікація особливих точок. Зв’язок між нулем та полюсом функції

29. Лишки функції: поняття, основна теорема, методи знаходження та деякі застосування

30. Перетворення Лапласа: оригінали та їх зображення, теореми існування, єдності та необхідна ознака існування зображення. Основні властивості.

31. Основні властивості перетворення Лапласа. Таблиця оригіналів та зображень з виводом

32. Застосування операційного числення до розв’язання лінійних диференціальних рівнянь та деяких типів інтегральних рівнянь

33. Поняття функції оригіналу та основні поняття про перетворення Лапласа. Приклади (h (t) -

функція Хевісайда, eat ) Теорема про існування зображення по Лапласу. Теорема Мелліна.

34. Перетворення Лапласа. Властивості зображення по Лапласу (лінійність та подібність).

Диференціювання оригіналу та зображення. Приклади: sinwt,coswt, shwt,chwt та tn ,nÎN .

35. Перетворення Лапласа. Інтегрування оригіналу та зображення. Теореми про запізнення та

зміщення. Зображення ступеневої (східчастої) функції.

36. Згортка функцій, її властивості. Теорема Бореля. Інтеграл Дюамеля. Розв’язування ЛОДР зі сталими

коефіцієнтами та системи таких рівнянь за допомогою операційного числення.

37. Теорема розкладу (І та ІІ).

38. Інтегро-диференціальні рівняння Вольтера І та ІІ розу. Розв’язування їх за допомогою перетворення Лапласа.

[1] Методичною радою університету – для загальноуніверситетських дисциплін.